Что означает принцип запрета Паули в терминах волнового уравнения?

Обозначим волновую функцию системы двух электронов (для простоты) как :$\Psi(\vec{r}_{1},\sigma_{1};\vec{r}_{2},\sigma_{2})$где$\vec{r}$обозначает координату положения и$\sigma$обозначают координату вращения. Тогда, поскольку электроны являются фермионами, волновая функция антисимметрична (теорема о спиновой статистике). т.е.,$\Psi(\vec{r}_{2},\sigma_{2};\vec{r}_{1},\sigma_{1})=-\Psi(\vec{r}_{1},\sigma_{1};\vec{r}_{2},\sigma_{2})$. Теперь, если мы предположим волновую функцию формы (среднее поле, Хартри-Фок или невзаимодействующая, простейший выбор, удовлетворяющий антисимметричному характеру, который скрыт в вашем вопросе)$\Psi(\vec{r}_{1},\sigma_{1};\vec{r}_{2},\sigma_{2})=\frac{1}{\sqrt{2!}}\det\begin{pmatrix}\psi(\{q_{1}\},\vec{r}_{1}^{}) & \psi(\{q_{1}\},\vec{r}_{2}^{}) \\ \psi(\{q_{2}\},\vec{r}_{1}^{}) & \psi(\{q_{2}\},\vec{r}_{2}^{}) \end{pmatrix}$. Следует, что$\{q_{1}\}=\{q_{2}\}$ $\Rightarrow$ $\Psi(\vec{r}_{1},\sigma_{1};\vec{r}_{2},\sigma_{2})=0$(что не является разумной волновой функцией для описания двух электронов). Здесь$\{q\}$обозначают квантовые числа, определяющие одиночные орбитали электронов.

Это связано с многочастичными волновыми функциями.

Предположим, у нас есть две частицы с состояниями$\psi_{1}(\vec{r}_{1})$и$\psi_{2}(\vec{r}_{2})$. Тогда распределения вероятностей, конечно,$P_{1}(\vec{r}_{1})=|\psi_{1}(\vec{r}_{1})|^2$и$P_{2}(\vec{r}_{2})=|\psi_{2}(\vec{r}_{2})|^2$. Заманчиво думать, что волновая функция для обеих частиц просто

Теперь рассмотрим случай двух электронов. Электроны являются фермионами, поэтому их взаимная волновая функция должна быть антисимметричной.

Примечание: я опустил координату вращения из приведенного выше вывода для упрощения записи, но имейте в виду, что она также должна быть там. Вы можете альтернативно думать, что$\vec{r}=(x,y,z,s)$где$s$это спин.