Могут ли два фермиона с разными энергетическими уровнями находиться в одном и том же месте?

Нет. Если рассчитать

(Это замена неправильного ответа. «Сегодня я узнал», как говорится в Интернете.)

Один из способов ответить на этот вопрос — изменить переменные. Давайте представим

и попытайтесь найти плотность вероятности с точки зрения$\Delta x$.

Учитывая ваши волновые функции,

Если проинтегрировать это распределение по всем допустимым значениям$\Sigma x$, у нас осталось

что представляет собой распределение вероятности обнаружения двух ваших частиц, разделенных расстоянием$\Delta x$. Как$\Delta x$становится маленьким, член в квадратных скобках становится пропорциональным$(m^2+n^2)\Delta x^2$: вы с большей вероятностью найдете высоковозбужденные частицы рядом друг с другом, чем частицы в более низких состояниях, но плотность вероятности обнаружения двух частиц с$x_1=x_2$исчезает.

Вот некоторые численные результаты для конкретного$m,n$(нажмите, чтобы эмбигген). Нулевая линия в совместной плотности вероятности при$x_1=x_2$(по центру по горизонтали) довольно легко выделить. Локальные минимумы плотности вероятности при$|\Delta x|/L = 0.42, 0.84$на самом деле не являются нулями, хотя это трудно сказать по этому конкретному представлению графика.

Это не имеет ничего общего с динамикой; это верно без какого-либо упоминания об «энергетических уровнях» и следует исключительно как следствие общих принципов квантования фермионных систем.

Правильное утверждение для непрерывной наблюдаемой$x$немного технический и не более поучительный (в частности, совместная функция плотности вероятности$f(x_1,x_2)$идет к$0$как$x_2 \rightarrow x_1$), поэтому вместо этого давайте рассмотрим конечномерное одночастичное гильбертово пространство размерности$n$с самосопряженным оператором$\hat A$с невырожденным спектром собственных значений$\alpha_1, \ldots, \alpha_n$и соответствующие собственные векторы$|\alpha_1 \rangle, \ldots, |\alpha_n \rangle$.

Если мы хотим описать систему с двумя невзаимодействующими одинаковыми фермионами этого типа, мы имеем$n(n-1)/2$базисные векторы, которые могут быть выбраны как$|\beta_{ij}\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|\alpha_i\rangle \otimes | \alpha_j \rangle - |\alpha_j\rangle \otimes | \alpha_i \rangle)$, где$1 \le i < j \le n$. Фермионам разрешено занимать только эти состояния, а не все$n^2$пространство размерного тензорного произведения, потому что состояния должны быть антисимметричными при обмене частицами. Однако состояние, при котором обе частицы измерены как имеющие$A = \alpha_i$обязательно будет$|\alpha_i \rangle \otimes | \alpha_i \rangle$, и такое состояние не существует как линейная комбинация$|\beta_{ij}\rangle$. Конечно, такое состояние существует в пространстве полного тензорного произведения, но оно ортогонально фермионному подпространству, потому что оно симметрично, а не антисимметрично относительно обмена частицами.

Хотя есть способ избежать этого. Если вы позволите$\hat A$имеют вырожденный спектр с$\alpha_i = \alpha_j$, то у вас есть 2 различных вектора$|\alpha_i \rangle$и$|\alpha_j\rangle$с тем же наблюдаемым значением$A$, и антисимметричное состояние$|\beta_{ij}\rangle$состояние, в котором мы измеряли бы обе частицы с$A = \alpha_i = \alpha_j$. Аналогичным образом в непрерывном случае можно было бы допустить дополнительные квантовые числа, то есть состояния$\{ |x\rangle \}$уже не достаточны в качестве основы. Это чрезвычайно важно, например, если мы хотим иметь фермионы со спином, но вопрос специально исключает его из рассмотрения, и без этого два фермиона всегда будут иметь разные положения.