Что такое «проблема локализации энергии» общей теории относительности?

Одним из проявлений «проблемы локализации энергии» является трудность определения тензора энергии-импульса-импульса для гравитационного поля, ср. например, псевдотензор Ландау-Лифшица . Это обсуждается более подробно, например, в этой публикации Phys.SE.

Вот один из способов подумать об этой проблеме.

Рассмотрим яблоко, далекое от Земли (как и Луна), движущееся в гравитационном поле Земли по направлению к Земле. В общей теории относительности все системы отсчета приемлемы для выражения законов физики. Это означает, что фиксированная на Земле инерциальная система отсчета, в которой яблоки ускоряются, подходит, а система свободного падения, в которой яблоко находится в состоянии покоя, подходит.

В первом кадре гравитационное поле присутствует (отлично от нуля) везде, и, таким образом, пропорциональная полю гравитационная энергия присутствует повсюду вокруг Земли, включая окрестности яблока. Увеличение кинетической энергии яблока может быть связано с уменьшением этой гравитационной энергии.

Но на втором кадре вблизи яблока нет гравитационного поля (в его окрестностях гравитационное поле трансформировалось), и яблоко не набирает кинетическую энергию. Вместо этого Земля набирает кинетическую энергию. Таким образом, в этой системе координат мы не можем сказать, что около яблока есть энергия, пропорциональная полю, но она есть около Земли.

Некоторых людей беспокоит эта огромная разница в том, где присутствует энергия, в зависимости от нашего выбора системы отсчета. Математически получается, что нельзя определить гравитационный тензор энергии-импульса, а только "псевдотензор", учитывающий эту зависимость положения энергии от системы отсчета.

На самом деле это проистекает из желания, чтобы все системы отсчета были одинаково приемлемыми, что никогда не принималось в дорелятивистской механике. Но принцип ОТО состоит в том, что все системы отсчета одинаково достоверны, и тогда необходимым следствием является «относительность местоположения энергии».

В общей теории относительности (ОТО) хорошо известно, что тензорописывающего энергию-импульс гравитационного поля не существует; ГР не полный. Эйнштейн понял (вместе с Гроссманном) в 1913 году, что гравитация тяготеет и должен существовать тензор, описывающий это явление. Однако он не смог создать эту сущность и вместо этого в 1915 году ввел псевдотензор. Бесполезность и бесконечность псевдотензоров и других подходов к описанию локальной гравитационной энергии привели к общему утверждению, впервые упомянутому выше. Однако гравитация по-прежнему тяготеет, и мы должны быть в состоянии создать тензор, чтобы описать этот важный факт. Это было достигнуто путем распространения классической теоремы дифференциальной геометрии в римановом пространстве-времени, теоремы Бергера-Эбина, на лоренцево пространство-время, называемой теоремой об ортогональном разложении (ODT) в статье «Модифицированная общая теория относительности».$w_{ab}$можно разложить в линейную сумму бездивергентных тензоров$v_{ab}$плюс еще один тензор$\Phi_{ab}$, которое принадлежит подпространству, ортогональному подпространству$v_{ab}$:$w_{ab}=v_{ab}+\Phi_{ab}$. Возвращаясь к исходному постулату Эйнштейна о полном em-тензоре$T_{ab}$, который должен быть бездивергентным и локально сохраняющимся, тензор материи$\tilde{T}_{ab}$уже не является бездивергентным. Постоянное кратное ему можно установить равным произвольному симметричному тензору и разложить с помощью ODT, чтобы получить:$k\tilde{T}_{ab}=v_{ab}+\Phi_{ab}$. Теорема Лавлока требует, чтобы в четырехмерном пространстве-времени единственными бездивергентными симметричными тензорами, состоящими из сопутствующей метрики и ее первых двух производных, были метрика и тензор Эйнштейна. Таким образом, мы приходим к уравнению Эйнштейна$k\tilde{T}_{ab}=\Lambda g_{ab}+G_{ab}+\Phi_{ab}$с новым тензором, описывающим энергию-импульс гравитационного поля. Почему я могу так говорить?$\Phi_{ab}$строится из производной Ли как метрики, так и произведения ковекторов единичных линейных элементов. Производные Ли обладают уникальным свойством: тензор, построенный на их основе, имеет то же значение, когда производная Ли выражается с помощью ковариантных или частных производных. Таким образом, когда коэффициенты связи (гаммы) обращаются в нуль при свободном падении,$\Phi_{ab}$является инвариантным. Гравитационная энергия может быть локализована. Легко доказать, что$\Phi_{ab}$обращается в нуль тогда и только тогда, когда X, вектор элемента линии, вдоль которого вычисляется производная Ли, является вектором Киллинга. Конечно, в общем случае нет никаких векторов Киллинга, если только не задействована симметрия. Векторы линейных элементов практически никогда не используются в литературе, за исключением нескольких теорем об эволюции времени. Крайне важно понимать, что лоренцево пространство-время не существует без поля линейных элементов (X,-X): некомпактное паракомпактное многообразие допускает лоренцеву метрику$g_{ab}$тогда и только тогда, когда он допускает поле линейного элемента (Hawking and Ellis 1973).

Для темной материи трудно выяснить, где именно присутствует ее масса-энергия-импульс. Эффекты есть, но выяснить, откуда именно, сложно, так как их нельзя увидеть напрямую. Наблюдения за скоплением пули, кажется, дают некоторое представление, но точную природу темной материи (и, следовательно, ее местонахождение) выяснить трудно.