Что такое дискретное фазовое пространство?

Я отвечу на свой вопрос и надеюсь, что эта информация будет полезна для кого-то. Я возьму$\hbar = 1$и будет иметь дело с системами с одной степенью свободы (обобщение должно быть очевидным). Факторы нормализации очень сбивают с толку, поэтому я опущу большинство причин, по которым они являются тем, чем они являются.

Во-первых, давайте взглянем на старую добрую непрерывную функцию Вигнера. Есть много способов определить его. Я опишу два.

Функция Вигнера как коэффициенты в разложении по операторам Вейля-Гейзенберга

Рассмотрим оператор$\hat{T}_{(a,b)} = e^{-i(a\hat{p} - b\hat{q})}$. Этот оператор является генератором переводов в позиции по$b$и по импульсу$a$. Таким образом, мы имеем дело с формализмом, который ставит позиции и импульсы на одну и ту же основу (мы говорим, что имеем дело с квантовой механикой в ​​фазовом пространстве). В связи с операторами сдвига мы можем определить другой оператор как его симплектическое преобразование Фурье , т.е.$\hat{R}_{(q,p)} = \frac{1}{2\pi} \int e^{-i(ap - bq)} \hat{T}_{(a,b)}$. Можно показать, что эти операторы образуют представление группы отражений и переносов в двумерном фазовом пространстве. Мы также можем показать, что эти операторы ортонормированы относительно метрики Гильберта-Шмидта,

Это означает, что мы можем разложить любой оператор, действующий в нашем гильбертовом пространстве, в базис отражения (или сдвига). В разложении матрицы плотности как непрерывной линейной комбинации отражений

коэффициенты определяются как функция Вигнера, связанная с системой. Такое уравнение можно инвертировать, чтобы явно дать нам

Функция Вигнера из свойств проекции

Скажем, мы создаем функцию из матрицы плотности

и что мы хотим, чтобы этот оператор обладал следующим свойством: интеграл от$W$над полосой фазового пространства, ограниченной параллельными прямыми$aq + bp = c_1$и$aq + bp = c_2$вероятность того, что оператор$a\hat{q} + b\hat{p}$будет принимать значение между$c_1$и$c_2$. Этого само по себе достаточно, чтобы определить оператор$\hat{R}$и зафиксируем вид функции Вигнера (для ее получения достаточно инвертировать преобразование Радона).

Теперь вернемся к дискретному фазовому пространству. Прочитав множество статей на эту тему, я заметил, что они определяют функцию Вигнера либо как коэффициенты, либо в соответствии со свойством проекции. Но поскольку они пытаются определить квазивероятностное распределение для системы с дискретными степенями свободы (в основном спина), «фазовое пространство» должно быть дискретным. На самом деле это должен быть не только дискретный, но и тор, потому что система имеет только конечное число доступных состояний (в отличие от непрерывного случая, когда было бесконечное количество доступных состояний). Дело в том, что вам нужно либо создать операторы отражения на этом дискретном наборе, либо связать собственное состояние некоторой наблюдаемой с линиями в фазовом пространстве и использовать его в качестве руководства для создания объекта, подобного функции Вигнера, чтобы имитировать непрерывный случай. Тем не менее, вы пытаетесь связать сеть точек с состояниями. Это сильно отличается от непрерывного случая, когда вы начинаете с фазового пространства в смысле классической механики ($q$и$p$и так далее).

Итак, мой вывод таков: «дискретные фазовые пространства», которые появляются в формулировке функции Вигнера квантовой механики конечных состояний, не имеют ничего общего с квантовой механикой в ​​фазовом пространстве. Эти странные, неуникальные функции Вигнера — не что иное, как эффективный способ выполнения томографии состояний. Вопрос о возможности дискретизации фазового пространства потерял смысл и должен быть забыт. Тем не менее я все же сосредоточусь на проблеме компактификации кокасательных слоев.

Две точки зрения были очень интересны. Первый касается реального создания групповой фактор-структуры в классическом фазовом пространстве, проецирующей вигнеровское представление с плоскости на тор. Согласно основному результату спектральной теории компактных операторов, компактифицирующему область определения элементов банахова пространства, оператор определяется на основе результатов о счетности его спектра. Это означает, что проецирование функции Вигнера с плоскости на любую компактную область (наиболее важным случаем является тор) приведет к дискретизации спектров операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Это означает, что мы действительно можем найти дискретный аналог функции Вигнера с помощью формализма фазового пространства, но это имеет смысл только тогда, когда мы измеряем системы, в которых положение и импульс дискретны. Спин и угловой момент по-прежнему нуждаются в искусственных вигнеровских функциях, прокомментированных выше. (Статья, в которой это развивается, — Annals of Physics 276, 223–256 (1999).)

Вторая точка зрения, которая была действительно интересной, связана с проблемами, касающимися размерности нашего пространства состояний. Поскольку размерность конечна, нам нужно конечное поле, чтобы придать математический смысл, например, расслоениям конечномерных сетей (если бы мы не были на поле, две непараллельные линии пересекались бы более чем в одной точке) . Теперь конечные поля возможны только тогда, когда фактор-множество принимается равным$mod p$, где$p$является простым. Чтобы иметь дело с системами, степени свободы которых не следуют основному условию, авторы немного почитали о теории Галуа и добавили точки внутри пространства состояний, не меняя модульного группового базиса. Это было одно из самых симпатичных применений теории Галуа в прикладной физике, которые я когда-либо видел. (Статья, посвященная этому, — Physical Review A 70, 062101 (2004).)

Прошу прощения за долгий ответ. Я надеюсь, что это полезно для кого-то.