Зачем нужны нетривиальные расслоения?

Почему мы не можем просто присвоить каждой точке блоховской сферы фазу?$e^{i\phi}$?

Это идея сечения пучка волокон . Вы рассматриваете в этом случае базовое пространство$S^{2}$с волокном$S^{1}$. Локально пучок волокон выглядит как$S^{2}×S^{1}$. Однако вы хотите рассмотреть такое расслоение, что глобальное пространство является не тривиальным продуктом, а$S^{3}$. Расслоение Хопфа позволяет скручивать и склеивать пространства, чтобы получить желаемую идентификацию.

Это единственное расслоение, которое дает вам$S^{3}$? Ответ положительный, но чтобы его увидеть, нужны некоторые знания в алгебраической топологии и характеристических классах. В основном круговые расслоения классифицируются до изоморфизма расслоений по первому классу Черна . Следующий шаг — убедиться, что расслоение Хопфа принадлежит классу$1\in H^{2}(\cal{S^{2},\mathbb{Z}})$. Вы можете сделать это, построив длинные последовательности волокон, как это сделано здесь . Наконец, вы должны доказать, что любое другое расслоение кругов с полным пространством$S^{3}$принадлежит к этому классу. Я спросил это в mathstackexchnage, и это был ответ .

Другой ответ можно сформулировать в терминах инварианта Хопфа , который является гомотопическим инвариантом. Теорема Фрэнка Адамса, а затем Майкла Атия с помощью методов топологической К-теории доказала, что единственными отображениями инварианта Хопфа 1 являются расслоения сфер в измерениях 2, 4 и 8. Это решает вопрос, если вы согласны рассматривать то же самое, что и то же самое с точностью до гомотопической эквивалентности. Доказательство рассмотрения одного и того же с точностью до гомеоморфизма для базы, слоя и тотального пространства можно найти в этой статье. (Следствие 3.9, теорема 6.1) Это касается и других случаев, о которых вы спрашиваете.

Расслоение Хопфа — это проекция из 3-сферы в 2-сферу. Это размерное уменьшение. «Дополнительная» 4 -мерная информация из 4-мерного пространства кватерниона кодируется в нижнем 3-мерном пространстве через глобальную фазу. Глобальная фаза является естественной скрытой переменной кубита в "нижнем" трехмерном пространстве - для получения дополнительной информации см.;

Единичные кватернионы и сфера Блоха: https://arxiv.org/abs/1411.4999

Хопф-расслоение

$$\mathbb{S}^3\mapsto^{\mathbb{S}^1}\mathbb{S}^2$$ определяется $$\hat{\mathcal{R}}\;=\;\hat{\Psi}\frac{\hat{\sigma}_i}{2}\hat{\Psi}^\dagger$$

$\bullet$ $\mathbb{S}^3$Кватернион (спинор)$\hat{\Psi}(\theta,\phi,\omega)$описывает 3-сферу, встроенную в$\mathbb{R}^4$.

$\bullet$ $\mathbb{S}^2$Вектор Блоха$\hat{\mathcal{R}}(\theta,\phi)$описывает 2-сферу, встроенную в$\mathbb{R}^3$.

$\bullet$ $\mathbb{S}^1$Глобальная фаза$e^{i\frac{\omega}{2}}$описывает 1-сферу, вложенную в$\mathbb{R}^2$.

Глобальная фаза является естественной скрытой переменной кватерниона (спинора/кубита), если рассматривать ее в представлении сферы Блоха.$\mathbb{S}^1$расслоение, соединяющее 3-сферу и 2-сферу. Это нетривиальное расслоение Хопфа параметризуется глобальной фазой, которая определяется:

$$\omega\;=\;\int_0^tdt'\left[\frac{\mathcal{R}^j\mathcal{H}^j+\mathcal{R}^k\mathcal{H}^k}{(\mathcal{R}^j)^2+(\mathcal{R}^k)^2}\right]$$

где$\mathcal{R}^\bullet$— элементы блоховского вектора и$\mathcal{H}^\bullet$элементы гамильтониана, удовлетворяющие уравнению фон Неймана

$$\dot{\hat{\mathcal{R}}}\;=\;[\mathcal{\hat{H}},\hat{\mathcal{R}}]$$ выражается в базисе Кэли.

Глобальная фаза сообщает вам, где вы находитесь «глобально» на 3-сфере. Например, если мы выберем некоторый замкнутый путь на сфере Блоха и посчитаем, что глобальная фаза одной орбиты равна$\omega=2\pi$, то$\mathbb{S}^1$расслоение

$$e^{i\frac{2\pi}{2}}=-1$$ Отрицательный коэффициент говорит нам, что мы прошли только половину всего пути на 3-сфере. Хотя кажется, что мы достигли нашей начальной точки после одного витка, на самом деле нам требуется второй виток пути на сфере Блоха, чтобы вернуться в начальную точку.

В физической интерпретации это объясняет собственный спин спин-$\frac{1}{2}$фермионы. Фермионам требуется 2 орбиты, чтобы вернуться в исходную точку.$4\pi$вращение. для получения дополнительной информации см.;

Расслоение Хопфа и скрытые переменные в квантовой и классической механике: http://arxiv.org/abs/1601.02569

(Я написал вышеуказанную статью.)

Мантры типа «сфера Блоха содержит всю наблюдаемую информацию о системе» — мусор. Это неявно относится к понятию (чистого) квантового состояния и смешивает его с важным понятием наблюдаемого , но квантовые состояния — сложная штука, и слово «информация» может оказаться особенно коварным .

Начнем с математики. Соответствующие формализмы: гильбертовы пространства, их проективизации и наблюдаемые. Да, когда вы получите ℂ ²гильбертовом пространстве (для двух состояний), а затем ограничьтесь векторами состояния с нормой 1, после чего вы получите 3-сферу. Почему векторы, отличающиеся только умножением U(1), представляют одно и то же состояние? Потому что значения наблюдаемых (комплексных матриц 2 × 2) на них и их вероятности не зависят от фазы. Итак, проективизацию удобно рассматривать; собственные состояния (невырожденных самосопряженных) операторов становятся однозначно определенными, не раздражая свободу U(1) для каждого из них. Не это конкретное расслоение Хопфа имеет значение; проективизация на гильбертовом пространстве, вообще говоря, имеет значение. Выбора нет: все гильбертовы пространства одной размерности изоморфны, а проективизация единственна. Бывает, что все такие расслоения (кроме случая квантовой системы с одним состоянием, ℂ проективизированной до одноэлементной) нетривиальны; просто математический факт. Подчеркну: это немного разные математические формализмы для состояний; у каждого есть как преимущества, так и недостатки. Полезность проективизации не позволяет игнорировать U(1) влюбой расчет . Это означает, что если рассматривать квантовую систему изолированно, то при описании ее поведения действием U(1) на ее квантовые состояния можно пренебречь.

Можно «просто присвоить каждой точке сферы Блоха фазу», но это просто не имеет никакого смысла . Вы не получите структуру линейного пространства, не говоря уже о том, что такое отображение на ℂ ² \{0} может быть не непрерывным. Вы теряете инвариантность и симметрию проективного формализма, не приобретая линейности гильбертовых пространств.

Я мог бы также подробно объяснить C*-алгебру наблюдаемых на кубите и ее отношение сфера/шар, но об этом не спрашивают.

Теперь физика. Если вы хотите что-то понять о квантовых состояниях, то можете запретить себе думать, что любой кубит имеет какое-то определенное чисто квантовое состояние (подсказка: рассмотрим ЭПР-пару). Если кто-то когда-либо говорил вам такое, то он/она был лжецом. Наш мир не содержит изолированных кубитов; все квантовые системы потенциально запутаны.