Что такое фононные частоты в твердых телах? Как они связаны с потенциалами взаимодействия между составляющими атомами?

Хотя страница Википедии дает хорошее введение в концепцию фононов, она очень быстро вводит приближение взаимодействий ближайших соседей и не дает некоторых важных деталей о том, как частоты фононов рассчитываются с точки зрения потенциалов взаимодействия.

Цитируемая статья Рехтсмана, Стиллинджера и Торквато появилась в журнале Phys Rev Lett, 95, 228301 (2005) , а также в виде препринта . Более подробная информация содержится в более поздней статье тех же авторов Phys Rev E, 73, 011406 (2006) , также доступной в виде препринта . С тех пор та же группа развила эти идеи дальше.

Потенциал взаимодействия зависит только от расстояния между атомами, но имеет нетрадиционный вид с двумя минимумами, разделенными максимумом.

Идея состоит в том, чтобы «приспособить» потенциал к открытой кристаллической структуре (в данном случае основанной на сотовой решетке). На самом деле они надеются, что такая решетка соберется сама, учитывая такой потенциал. Итак, им нужно обрабатывать решетку с несколькими атомами на элементарную ячейку, а потенциал распространяется не только на ближайших соседей (хотя нет действительно дальнодействующих, электростатических членов). В рамках процесса «проверки» потенциала они требуют, чтобы все фононные частоты были реальными; другими словами, все «пружинные константы» положительны. В противном случае простая деформация с соответствующим волновым вектором понизила бы потенциальную энергию, поэтому предполагаемая кристаллическая структура была бы механически неустойчивой.

Надлежащее описание того, «как рассчитать фононы», дано в нескольких книгах по физике твердого тела, и во второй статье они на самом деле ссылаются на Н. Эшкрофта и Н. Д. Мермина по физике твердого тела . Далее только набросок.

Пусть положение атома$k$в элементарной ячейке$m$быть

$$\mathbf{R}_{mk} = \mathbf{R}_m + \mathbf{r}_k + \mathbf{u}_{mk}$$ где$\mathbf{u}_{mk}$- мгновенное смещение от идеального положения решетки, последнее представляет собой сумму базисного вектора $\mathbf{r}_k$внутри ячейки и положение ячейки$\mathbf{R}_m$. Квадратичное приближение к энергии решетки: $$\Phi = \Phi_0 + \frac{1}{2} \sum_{mk\alpha} \sum_{m'k'\alpha'} \Phi_{mkm'k'}^{\alpha\alpha'}\, u_{mk}^\alpha u_{m'k'}^{\alpha'}$$ где$\alpha,\alpha'=x,y,z$(или просто$x,y$в 2D) и $$\Phi_{mkm'k'}^{\alpha\alpha'} = \left. \frac{\partial^2\Phi}{\partial u_{mk}^\alpha \partial u_{m'k'}^{\alpha'}} \right|_{0}$$ оценивается при равновесии, все$u_{mk}^\alpha=0$. Линейного члена нет, потому что в состоянии равновесия ни на один атом не действуют результирующие силы. Суммирование идет по всем парам атомов в большой (макроскопической) выборке, но, конечно, члены$\Phi_{mkm'k'}^{\alpha\alpha'}$отличны от нуля только для пар в пределах области взаимодействия; также они зависят только от разницы в положениях элементарных ячеек$\mathbf{R}_m-\mathbf{R}_{m'}$, поэтому их можно записать$\Phi_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{R}_m-\mathbf{R}_{m'})$. Это помогает, когда мы преобразуем Фурье.

Знакомство с режимами Фурье$\mathbf{u}_{mk}\propto\sum_{\mathbf{q}}\mathbf{U}_{\mathbf{q}k} \exp(-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}_m)$упрощает энергию для

$$\Phi = \Phi_0 + \frac{1}{2} \sum_{\mathbf{q}} \sum_{k\alpha} \sum_{k'\alpha'} D_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{q}) \, U_{\mathbf{q}k}^{\alpha} U_{-\mathbf{q}k'}^{\alpha'}$$ где $$D_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{q}) = \sum_{\mathbf{R}} \Phi_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{R}) \exp(-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{R})$$ Обычно это нормируется термином, включающим массы атомов, чтобы дать динамическую матрицу , но если все атомы имеют одинаковую массу, это тривиально. Если есть$K$атомов в элементарной ячейке, члены$D_{kk'}^{\alpha\alpha'}(\mathbf{q})$являются элементами матрицы$\mathbb{D}(\mathbf{q})$размер которого$3K\times3K$(или$2K\times2K$в 2D). Определение собственных значений$\mathbb{D}(\mathbf{q})$является ключевой операцией: если какая-либо из них отрицательна, соответствующая фононная частота является мнимой, и кристалл будет неустойчивым.

Расчет$\Phi_{mkm'k'}^{\alpha\alpha'}$включает в себя просмотр всего$K$атомов в элементарной ячейке и исследуя взаимодействие с каждым другим атомом в диапазоне потенциала$v(r)$. Конечно,$\mathbb{D}(\mathbf{q})$требует вычислений для большого количества волновых векторов в зоне Бриллюэна, но это разрешимо.