Более точное получение плотной привязки состояний

Извините за поздний ответ, но, надеюсь, это может быть полезно для кого-то еще!

Вы можете уменьшить шум, используя эллиптический интеграл.

$$D(\varepsilon)=\frac{1}{4 \pi ^3 t}\int_{-\pi }^{\pi }d\phi K\left( \sqrt{1-\left(\frac{\varepsilon +2 t \cos\phi }{4 t}\right)^2}\right)$$

Где K — полный эллиптический интеграл первого рода: http://mathworld.wolfram.com/CompleteEllipticIntegraloftheFirstKind.html .

Добраться сюда не так уж и просто. И даже из этого выражения интеграл нужно делать численно с осторожностью (он имеет особенности при многих значениях$\varepsilon$), но это должно дать лучшие результаты. Запуск в течение шести секунд в Mathematica дает мне (с$t=\frac{1}{2\sqrt{3}}$):

TL;DR

С Matlabили Mathematikaпомочь не могу, но Pythonесть реализация: sc_dos Здесь$D$это половина пропускной способности$D = 6t$.

import numpy as np
import gftool as gt

eps = np.linspace(-1.2, 1.2, num=6001)
dos = gt.sc_dos(eps, half_bandwidth=1)

У меня оценка DOS занимает ~100 мс.

---

Вы уже привели правильные выражения. У нас есть функция Грина

$$G(z) = \frac{1}{N} \sum_{\boldsymbol{k}} \frac{1}{z-\epsilon_{\boldsymbol{k}}}$$ и (нормализованная) плотность состояний (DOS) $$D(\epsilon) = \frac{1}{N} \sum_{\boldsymbol{k}} \delta(\epsilon - \epsilon_{\boldsymbol{k}}) = -\frac{1}{\pi} \Im G(\epsilon+i0^+),$$ где$\epsilon$- реальная энергетическая переменная. Второе равенство есть Сохоцкого–Племеля .

Наивная сумма по очкам чрезвычайно требовательна, так как огромное количество$\boldsymbol{k}$точки необходимы в 3 измерениях.

Чтобы сгладить функцию, мы можем вычислить функцию Грина на контуре, параллельном действительной оси, сдвинутой на конечную величину.$\eta>0$в верхнюю комплексную полуплоскость:

$$D(\epsilon) \approx -\frac{1}{\pi} \Im G(\epsilon+i\eta).$$

Чем больше мы выбираем$\eta$тем плавнее становится функция, но, с другой стороны, мы теряем функции.

Поскольку нас интересует только термодинамический предел$N\rightarrow \infty$, более разумный подход, чем просто выборка$\boldsymbol{k}$, состоит в замене суммы интегралом. Для интегралов у нас есть более или менее эффективные алгоритмы.

Итак, давайте посчитаем

$$G(z) = \int \frac{d^3 k}{{2\pi}^3} \frac{1}{z-\epsilon_{\boldsymbol{k}}}$$ вместо. $\epsilon_\boldsymbol{k}$, симметрична для всех$k_{x_i}$:$\epsilon(k_{x_i}) = \epsilon(-k_{x_i})$, таким образом, достаточно проинтегрировать более одной восьмой зоны Бриллюэна.

И, наконец, мы можем использовать аналитические результаты для интегралов. Отметим, что мы можем выразить трехмерную функцию Грина в терминах известных результатов одномерной и двумерной функции Грина, поскольку мы имеем

$$\epsilon_{\boldsymbol{k}} = \epsilon_{k_x, k_y, k_z} = \epsilon^{2D}_{k_x, k_y} - 2t \cos(k_z) = \epsilon^{1D}_{k_x} - 2t[\cos(k_y) + \cos(k_z)]$$ и поэтому $$G(z) = \int \frac{dk_z}{2\pi} G^{2D} (z - 2t\cos(k_z)) = \int \frac{dk_y}{2\pi} \int \frac{dk_z}{2\pi} G^{1D}(z - 2t[\cos(k_y) + \cos(k_z)]).$$

Одномерная функция Грина$G^{1D}(z)$может быть легко вычислена, двумерная функция Грина$G^{2D}(z)$можно выразить через полный эллиптический интеграл первого рода (который можно найти в стандартных учебниках). С использованием$G^{2D}(z)$в основном результат, данный bRost03 .

Очень умный парень по имени Джойс даже нашел выражение для$G^{3D}(z)$в 1973 году. Уравнения немного длинны и сложны, поэтому я не буду их здесь копировать. Но мы реализовали их в Pythonмодуле gftool>=0.8.0, см. sc_dos . Там же вы найдете соответствующие ссылки.

У меня была такая же беда. я использовал формулу$\rho(\epsilon)=\sum_{\vec{k}}\delta(\epsilon - \epsilon(\vec{k}))$для численного расчета плотности состояний. я подвел итог$100$ $k-$значения для каждого компонента и использовали распределение Гаусса с$\sigma =0.1$для дельта-функции, чтобы получить следующую диаграмму. Использование большего$\sigma$заканчивается сглаживанием сингулярности в производной около$\epsilon=\pm 2$.

Код был написан на C++ и работал около$60$секунды.$y$ось$\rho(\epsilon)$,$x$ось$\epsilon$и$t=1$.

PS: Я провел суммирование по половине зоны Бриллюэна, что мне и было нужно для моего приложения.