Что такое гравитационная энергия в общей теории относительности?

---

ОБНОВЛЯТЬ

Этот ответ вызвал некоторые разногласия, которые, как мне кажется, связаны с тем, что я неправильно определил, что я имею в виду под энергией. В этом посте всякий раз, когда я говорю об энергии, я имею в виду каноническое/Гильбертово определение тензора энергии-импульса, т. е. функциональную производную лагранжиана по метрике. В ОТО имеет значение именно энергия, потому что она напрямую входит в ЭФЭ.

Заметим, что это определение, в принципе, не имеет ничего общего с классической трактовкой энергии (= работы), которая сохраняется вдоль траекторий точечных частиц. В GR нас не волнует эта последняя энергия, потому что она вообще не сохраняется (вам нужны некоторые поля смерти, но OP попросил нас не упоминать поля смерти).

Наконец, в каком-то полуклассическом анализе ОТО мы можем определить некоторую потенциальную энергию (например,$2\phi(r)\sim 1+g_{00}(r)$), который ведет себя как классическая интерпретация энергии (= работы). Но этот полуклассический анализ, в котором вы смешиваете концепции Ньютона и ОТО, можно использовать только для слабых или сильно симметричных полей.

Имея это в виду, обратите внимание, что тела могут ускоряться/замедляться из-за действия гравитации. Это не противоречит тому факту, что гравитационной энергии не существует: когда мы говорим, что энергия сохраняется в ОТО, мы имеем в виду$\nabla T=0$, но эта энергия является канонической/гильбертовой энергией, а не кинетической+потенциальной энергией тел! Если вы хотите поговорить о кинетической+потенциальной энергии тестового тела, вам рано или поздно понадобится Убийство!

---

Первый вопрос

Почему ЭМП вообще должен содержать гравитационную энергию? Разве эта энергия не была бы пропорциональна кривизне? Эта энергия снова вызовет дополнительную кривизну, которая, в свою очередь, увеличит гравитацию. энергия, которая снова увеличила бы кривизну и т. д.

Уравнения поля Эйнштейна говорят вам, как кривизна связана с энергией:

$$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=T_{\mu\nu}$$ (где я использую натуральные единицы $c=8\pi G=1$)

Левая – это мера кривизны, а правая – это мера энергии системы. Как только вы узнаете правую сторону, вы можете решить эти УЧП, чтобы найти метрику (левую сторону).

Некоторые примеры:

• Вы, наверное, знаете из классического электромагнетизма, что электромагнитное поле переносит энергию (что-то вроде$\boldsymbol E^2+\boldsymbol B^2$должно выглядеть знакомо). В тензорной записи энергия записывается

  $$T^{\mu\nu}=F^{\mu\alpha}F^\nu_\alpha-\frac{1}{4}g^{\mu\nu}F^2$$ где$F$– тензор электромагнитной силы (заметим, что$T^{00}\propto \boldsymbol E^2+\boldsymbol B^2$).

• Если у вас есть какая-то материя, которую вы можете смоделировать как идеальную жидкость (например, пренебрежимо малая вязкость), то формула для энергии дается выражением

  $$T^{\mu\nu}=(\rho+p)u^\mu u^\nu+p g^{\mu\nu}$$ где$\rho,p$- массовая плотность и давление жидкости, а$u$его скорость.

• И т. д

Все, что присутствует в системе, создает гравитацию, поэтому вы должны включить его энергию в EFE:$T^{\mu\nu}=T_1^{\mu\nu}+T_2^{\mu\nu}+\cdots$, где каждый$T_i^{\mu\nu}$это другой источник энергии. Но мы не включаем термин$\boldsymbol{T_i^{\mu\nu}}$для кривизны: гравитация не имеет тензора энергии :

$$\text{r.h.s}=T_\text{EM}+T_\text{matter}+T_\text{quantum?}+\cdots+ \overbrace{ T_\text{gravity}}^{\text{NO!}}$$

В правой части EFE нет тензора гравитационной энергии и термина для гравитации. В правой части EFE вы включаете только негравитационные формы энергии.

Обратите внимание, что в вакууме (т. е. без материи/отсутствия излучения) ЭФЭ

$$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=0$$ Вы можете ясно видеть, что в правой части нет члена, хотя гравитация есть.

Поэтому ответ на ваш первый вопрос таков: ЭМП не должен содержать гравитационной энергии.

Второй вопрос

Что такое гравитационная энергия в ОТО? (формула и/или изображение было бы неплохо)

В ОТО нет смысла говорить о гравитационной энергии.

Краткое пояснение: как вы, наверное, знаете, в ОТО гравитация не является истинной силой.$^1$. Следовательно, потенциальной энергии нет.$^2$связанные с ним.

Более длинное объяснение: в ОТО энергия определяется как

$$T^{\mu\nu}=\frac{-2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta \mathcal L_m}{\delta g^{\mu\nu}}$$ где $$\mathcal L=\sqrt{|g|}\left(R+\mathcal L_m\right)$$ является (полным) лагранжианом теории, и $\mathcal L_m$является негравитационной частью лагранжиана. Как видите, энергия определяется через негравитационную часть лагранжиана, что в свою очередь означает, что говорить о гравитационной энергии просто не имеет смысла.

Обратите внимание, что можно определить величину , которая (предположительно) очень похожа на гравитационную энергию.$^3$:

$$t^{\mu\nu}=\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}-R_{\mu\nu}+\frac{1}{2g}[g(g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}-g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta})]_{,\alpha\beta}$$ но в целом это не считается истинной гравитационной энергией (это больше похоже на формальную аналогию, без особого использования AFAIK). Это даже не тензор. Однако, чтобы увидеть, как это работает, мы можем вычислить $t^{00}$в решении Шварцшильда в слабом поле (нерелятивистском) пределе: $$g^{00}=-\left(1-\frac{2M}{r}\right) \qquad g^{ij}=\delta^{ij}$$ (где теперь я беру $c=G=1$)

«Потенциальная энергия» этой метрики равна

$$t^{00}=\frac{1}{2g} \nabla^2 (g^2)=\nabla^2g+\frac{1}{2g}(\nabla g)^2$$ где $g=g^{00}$. Интересно, похоже ли это на потенциальную энергию для вас (ИМХО, нет).

---

РЕДАКТИРОВАТЬ: Есть определенный момент, который я хотел бы обсудить немного подробнее. Просто так получается, что в EFE мы не включаем кривизну-энергию в правую часть. Вы указываете, что если бы это было так, то кривизна вызвала бы большую кривизну, а новая кривизна вызвала бы еще большую и т. д. Возможно ли это? или это просто абсурд?

Что ж, я думаю, вам очень понравится эта лекция Фейнмана (Том II. Глава 23: Полые резонаторы). Правые части уравнений Максвелла включают как$\boldsymbol E$и$\boldsymbol B$, так что в этом случае существует обратная связь, о которой вы говорите: определенное электрическое поле может быть ответственным за магнитное поле, которое, в свою очередь, генерирует большее электрическое поле, которое отвечает за большее магнитное поле, и так до бесконечности . Но в результате получается сходящийся ряд, поэтому все работает отлично (я знаю, что это не имеет отношения к вашему вопросу, но я думаю, что это аккуратно, и я думаю, вам это тоже может понравиться:))

---

$^1$: «В общей теории относительности эффекты гравитации приписываются искривлению пространства-времени, а не силе». - из Википедии .

$^2$: «В физике потенциальная энергия — это энергия, которой объект обладает благодаря своему положению в силовом поле [...]» — из Википедии .

$^3$: эта величина удовлетворяет определенным соотношениям, которым обычно удовлетворяет энергия, и она построена с использованием только метрического тензора.$g$.