Что такое нелинейная σσ\sigma-модель?

Любош ответил на вопрос по физике, а история не в тему. Происхождение термина «сигма-модель» для теории поля, где скалярные значения находятся на многообразии, происходит от статьи Гелл-Манна и Леви 1960 года «Аксиальный векторный ток в$\beta$-Decay", в котором представлены две модели.

Первая из них называется «линейной сигма-моделью» и представляет собой перенормированную модель мексиканской шляпы, вдохновленную Гейзенбергом, для пионного конденсата. Модель имеет четыре поля,$\phi^i$где i=0,1,2,3, которые имеют обычный потенциал мексиканской шляпы, так что значения вакуума находятся на сфере S_3.

Это делает 3 направления поля легкими, и эти моды представляют собой три пиона и одно направление поля тяжелое, и эта мода была названа «сигма». Это была предсказанная частица, и я полагаю, что она была отождествлена ​​с$\sigma$(600) широкий резонанс, за исключением того, что этот резонанс очень странный и был исключен из списка, и он слишком широкий, чтобы быть настоящей сигмой, поэтому модель не годится.

Пренебрегая перенормируемостью, масса$\sigma$регулируется за счет того, что стена потенциала мексиканской шляпы колеблется более жестко, и в пределе бесконечно быстрых колебаний вы просто ограничиваете$\pi$полей в сферу, и нет конечной энергии$\sigma$. Этот предел является неперенормируемой нелинейной сигма-моделью в статье. Она была названа так, потому что это нелинейная версия перенормируемой сигма-модели, как считали Гелл-Манн и Леви, но это неправильное название, поскольку в нелинейной теории нет сигмы , в этом весь смысл перехода к нелинейной модели. версия.

Если вы начнете с микроскопической нелинейной сигма-модели и решетчатого лагранжиана, вы создадите сигму динамически и получите динамику линейной сигма-модели на больших расстояниях. Нечто подобное уже было известно Гелл-Манну и Леви. Но Гелл-Манн не был уверен, что происходит на коротких расстояниях, и был готов к тому, что на адронных масштабах возьмет верх S-матрица, сделав соображения перенормируемости второстепенными, поэтому он оставил нелинейную модель как вариант, даже хотя это не соответствовало перенормировке (это мое мнение о Гелл-Манне, кто-нибудь может спросить этого парня и получить лучшее мнение, он никогда не лжет).

Исторически сложилось так, что нелинейная сигма-модель была первым случаем, когда кто-то рассмотрел теорию поля, в которой значения поля были ограничены многообразием. Все остальные подобные конструкции с этого момента стали называться нелинейными сигма-моделями и исторически произошли от обобщений этой конструкции. Термин «алгебра токов» также иногда используется для частного случая таких конструкций, когда многообразие является группой. 1970-е годы Виттен говорит о двумерной токовой алгебре всякий раз, когда он имеет в виду, что существуют динамические поля, которые принимают значения в группе Ли, как в моделях WZW.

Современная форма конструкции Гелл-Манна-Леви - это киральная теория возмущений, и это низкоэнергетическое приближение к КХД. Пионные поля представляют собой киральные вращения кваркового конденсата, тогда как сигма-возбуждение не совсем необходимо, поскольку это не симметричное движение. Поскольку SU (2) киральных вращений топологически представляет собой 3-сферу, она не сильно отличается от того, что впервые предложили Гелл-Манн и Леви.

Нелинейные сигма-модели обретают новую жизнь благодаря работе Фридана, потому что в теории струн само пространство-время является сигма-моделью на мировом листе. Нелинейные сигма-модели в статье Фридана качественно более сложны, чем модели Гелл-Манна и Леви, и действительно должны быть названы по-новому. Но это не так. Это история, мы с ней разбираемся.

Я нахожу статью в Википедии, на которую ссылается ОП, понятной и не требующей пояснений. Тем не менее, снова.

Нелинейная сигма-модель — это модель, описывающая скалярные поля, охватывающие обычно искривленное многообразие, снабженное римановой метрикой. Риманова метрика$g_{ab}(\Sigma^c)$появляется в кинетическом члене как коэффициент$\partial^\mu \Sigma^a \partial_\mu \Sigma^b$. Такие модели можно интерпретировать как описание движения частицы или многомерной струны/браны на искривленном многообразии.

Слово «модель» относится к конкретной теории с некоторыми конкретными законами физики (лагранжиан). Он «нелинейный», потому что кинетический член не просто билинейный; он более высокого порядка и зависит от полей, а не только от их производных. Тогда решения также будут нелинейными; их можно понимать как движение частицы (или браны) по искривленному целевому многообразию, которое не идет по «прямым путям», поэтому оно нелинейно.

Их называют сигма-моделями, потому что буква$\Sigma$используемый для этих скалярных полей, произносится как «сигма». Ну, это была строчная сигма в важном тезисе Дэна Фридана 1980 года,

http://www.osti.gov/energycitations/servlets/purl/5001689-j6L3sY/5001689.pdf

в названии которого не было «сигмы», но для полей использовалась буква сигма. Пришлось выбирать какую-то букву, именно эту, и физики экономно избегали избыточной терминологии и называли модель тоже буквой.

Наличие нелинейных коэффициентов кинетических членов особенно естественно для скалярных полей, где это может быть связано с римановой геометрией. Подобные вещи нельзя сделать с вращающимися полями, по крайней мере, не так естественно. Таким образом, нелинейные сигма-модели представляют собой важный класс. Он появляется во многих ситуациях, когда скалярные поля более сложны, чем просто «параметры, обозначающие некоторое плоское пространство». Соответствующее многообразие, натянутое на скалярные поля, может быть сферой, фактором групп (например, в теориях супергравитации), произвольным пространственно-временным многообразием, если мы описываем теорию струн лагранжианом мирового листа, то же самое для бран и так далее.