Прежде всего: как определить один оператор в гильбертовом пространстве? Это чисто математический вопрос, и ответ прост: у нас есть гильбертово пространство. , то определим функцию что линейно , являющийся его доменом.
Затем мы должны определить функцию. Другими словами, мы должны сказать, как действует на . Это означает, что мы должны сказать, что для каждого . Обычно мы делаем это, устанавливая правило в терминах общего , возможно, используя основу, или иногда мы можем сделать это косвенным образом.
Что касается определения функции, то это происходит во всей математике: чтобы определить функцию, нам нужно множество, и тогда мы определяем функцию на некотором подмножестве этого множества. Таким образом, невозможно определить функцию, если мы заранее не знаем: (i) множество , (ii) домен и (iii) диапазон .
В случае гильбертовых пространств известное гильбертово пространство к задаче, является доменом оператора и . Давайте позвоним множество всех операторов в гильбертовом пространстве .
Это просто математика. Теперь, если мы хотим определить поле операторов в пространстве-времени , что нам нужно? Что ж, следуя этой логике (это стандартная математика, ничего особенного ), нам нужна функция . Но, подождите, чтобы построить эту функцию, нам нужно сказать, как она действует. Другими словами, для каждого события мы должны сказать, что есть .
Хорошо, так как мы можем сказать, что ? Это оператор в . Следовательно, чтобы определить нам нужно сказать, как он действует на , в своей области . Другими словами, нам нужно указать для каждого что за действие для каждого , иначе мы не определили совсем.
Можно возразить, что квантовые поля следует рассматривать как операторнозначные распределения, хотя я все еще не уверен, является ли это стандартным подходом, но в любом случае проблема остается, и это то же самое. Чтобы определить квантовое поле мы должны сказать, как это действует для каждой тестовой функции и каждый .
И, конечно же, нам нужно . Хотя это менее важно, поскольку все гильбертовы пространства одинаковой размерности изоморфны. С другой стороны, действительно определяющее является жизненно важным.
Теперь возникает вопрос: что физики делают в КТП? Они выбирают одно скалярное поле и сказать: "Хорошо, теперь мы просто делаем стать операторами, подчиняющимися и мы закончили». Еще больше сделано! Один пишет с точки зрения других операторов , которые также неизвестны и относятся к коммутационному соотношению. Затем вы представляете: «Хорошо, следующим шагом, естественно, является определение этих операторов», и ничего не делается , все операторы остаются неопределенными с предложенными коммутационными соотношениями. Как можно иметь коммутационные соотношения и не иметь операторов?
В квантовой механике я могу даже принять это. Государственное пространство существует по постулату, наблюдаемые существуют по постулату, и мы допускаем их все (мы даже можем обратиться к теореме Стоуна-фон Неймана, если хотим быть более строгими). В QFT у нас есть поле, поэтому нам нужна функциональная зависимость , и ни ни когда-либо определены.
В этом смысле я действительно запутался. Что на самом деле означает для физиков определение поля в контексте КТП ? Как можно работать с операторнозначными полями (распределениями), если просто говорят, что коммутационные соотношения выполняются, даже не определяя поля и операторы? Что здесь происходит на самом деле?
Вам не нужно определять объекты, если вы предполагаете, что они существуют. Я знаю, это звучит глупо, но именно это и делают для нас аксиомы — они дают нам вещи без необходимости конструировать или оправдывать эти вещи, как в математике, так и в физике. По сути, в квантовой теории поля мы предполагаем , что нам переданы поля с операторными значениями, действующие в некотором гильбертовом пространстве. Это первые две аксиомы Вайтмана : состояния — это лучи в гильбертовом пространстве. а «поле» — это распределение со значениями в пространстве операторов на . В общей КТП ничего больше не известно — мы не можем описать явно, и действие полей в общем случае для нас также загадочно.
Можно сказать, что именно это делает КТП фундаментально более сложной по сравнению с квантовой механикой с конечным числом степеней свободы. Благодаря теореме Стоуна-фон Неймана , даже если предположить, что существуют операторы выполнение канонических коммутационных соотношений на некотором пространстве позволяет нам узнать, что это пространство унитарно эквивалентно и и воздействовать на мое умножение и дифференцирование, что означает, что мы можем рассматривать состояния как волновые функции и т. д. КМ с конечным числом степеней свободы конкретна в том смысле, что мы можем явно записать пространство состояний и действующих на них операторов. Но мы не определяем и действовать таким образом априори, именно теорема SvN дает нам возможность поступать так.
Надлежащая аксиоматизация этой установки, предполагающая существование бестелесных «операторов» с коммутационными соотношениями без какого-либо определенного пространства, на которое они действуют, состоит в том, чтобы аксиоматизировать квантовые теории как теорию определенных линейных функционалов (состояний, значений ожидания) на -алгебры . реферат -алгебра ни на что не действует , а состояния — это просто линейные функционалы на ней, которые соответствуют принятию значений ожидания. Это «внутренний» взгляд на квантовую механику, предполагающий не что иное, как структуру операторов как алгебру — нет ни гильбертова пространства, ни операторов, действующих на что-либо, ничего, поэтому с этой точки зрения вопрос о том, как « определить» квантовое поле просто выглядит глупо — вы записываете образующие алгебры и их отношения, и все (по модулю определения банаховой структуры на нем). Контакт с более привычным миром гильбертовых пространств осуществляется через понятие -представления и, в частности, построение ГНС .
В КТП, то есть в квантовой механике с бесконечным числом степеней свободы, нам не хватает силы Стоуна и фон Неймана. Существует бесчисленное множество унитарно-неэквивалентных представлений CCR (это один из аспектов теоремы Хаага ), поэтому мы не можем записать какое-либо конкретное действие поля на какое-то конкретное пространство, просто предполагая, что пространство и поля существуют. Таким образом, мы явно создаем свободное поле (которое вы должны рассматривать как первое определение поля). как лестничные операторы в фоковском пространстве, затем собирая поле), и проделывать хитрые трюки, чтобы каким-то образом получить из этого знания о взаимодействующих теориях, например, с помощью формулы LSZ, которая действительно является краеугольным камнем канонического формализма КТП.
Теперь, если вас беспокоит, как физики «определяют» поля, связанные с определенными лагранжианами, то формула LSZ ближе всего к ответу — с помощью LSZ вы получаете все значения вакуумного среднего или «функции Вайтмана», а Суть аксиом Вайтмана как раз в том, что они допускают выполнение теоремы Вайтмана о реконструкции, которая утверждает, что n-точечных функций достаточно для реконструкции полей. Теперь, к сожалению, редко известно, что физические теории являются теориями Вайтмана, но это дорожная карта того, как вы надеетесь строго определить квантовые поля в подходе Вайтмана.
Однако в абстрактной установке вам нужно определить не сами поля как функции, а их -алгебра. И учитывая набор классических полей и лагранжиан, это дает вам представление о коммутационных отношениях, используя CCR / CAR между полями и их каноническими импульсами, и, следовательно, алгебру. Так что в абстрактном контексте не так уж много нужно определить, даже в случае квантовых полей.
юггиб