Что такое нелинейный многообразие?

Нелинейное многообразие относится к многообразию , которое не является аффинным пространством .

Насколько я понимаю, термин « нелинейное многообразие» просто относится к целевому пространству нелинейных$\sigma$-модели в литературе. Чтобы быть явным, рассмотрим, например,$O(3)$ $\sigma$-модель,

где$n^a$— единичное векторное поле ($n^a n_a=1$) в$2+1$объемное пространство и$H$является инвариантом Хопфа. В любой момент времени для решений с конечной энергией существует граничное условие$n \to (0, 0, 1)$.

В этой теории пространство-время может быть отождествлено с$CP^1$(или эквивалентно$\mathbb C \cup\{\infty\}$), а конфигурационное пространство состоит из карт$S^2 \to S^2$. Многообразие упоминается как нелинейное многообразие в этом контексте.

В более общем случае нелинейный$\sigma$-модель может быть записана как

где$\phi^a$карта из$\Sigma$в некоторое целевое пространство$M$. Обратите внимание, что «нелинейная» часть заключается в том, что метрический тензор может быть функцией самих полей и сжиматься с полями.

По существу, мы можем написать любую нелинейную$\sigma$-модель таким образом, что набор полей$\phi^a(x^\mu)$можно рассматривать как функции вложения некоторого многообразия$\Sigma$в$M$.

Например, для$O(3)$модель, решение ограничений с точки зрения некоторого параметра (интерпретируемого как поле) и подстановка его обратно в действие приведет к приведению его в эту форму.

Имеется в виду, что группа симметрии$G$не действует на поля линейно , т. е. они не живут в векторном пространственном (линейном) представлении группы симметрии$G$. Например, возьмем лагранжиан

Я не уверен, полезно ли думать о кривизне. Лагранжиан$L$конечно$\propto g_{ab} \dot{x}^a \dot{x}^b$для$g_{ab}$плоская евклидова метрика, только что выраженная в сферических координатах. А одномерное многообразие всегда плоское, поэтому, если у вас есть несколько коммутирующих симметрий, у вас может быть плоский тор.

Вайнберг, Том. 2, гл. 19, особ. сек. 19.6 обсуждает эту тему очень подробно.