Что такое нелинейное поле?

Нелинейное поле или нелинейная теория — это поле или теория, которые не являются линейными. Есть два препятствия к тому, чтобы что-то было линейным: уравнение называется линейным, если, всякий раз, когда$\phi$и$\psi$являются решениями уравнения и$a,b$являются постоянными скалярами, поэтому$a\phi + b\psi$. Таким образом, чтобы определение имело смысл, вам нужен (а) способ «сложить два решения» и (б) утверждение, что «сумма двух масштабированных решений снова является решением».

1. Теория/поле может не быть линейным на том основании, что нельзя складывать решения. Это, например, случай нелинейного$\sigma$-модели, в которых поле принимает значения в многообразии. В отличие от полей с действительными или комплексными значениями или полей несколько большей общности, принимающих значения в векторных пространствах, нет естественного способа определить сумму двух точек в многообразии. Другими словами, теория нелинейна в силу того, что мы не можем понять выражение$\phi(x) + \psi(x)$.

2. Когда само поле допускает понятие сложения, теория все же может не быть линейной, когда уравнения движения нелинейны. Так обстоит дело, например, с «нелинейными уравнениями Клейна-Гордона». Само поле по-прежнему принимает значение в комплексных числах. Но больше не гарантируется, что сумма двух решений будет новым решением.

Другими словами, в первом случае мы не можем даже осмысленно определить суперпозицию; во втором случае можно определить суперпозиции, но уже нельзя использовать принцип суперпозиции для разложения решений.

Проведенное различие носит в основном эпистемологический характер. Для практических целей нет особого смысла проводить различие между ними: разница между двумя случаями ничтожна по сравнению с их различием с линейными теориями.

Вы имеете в виду «нелинейную сигма-модель», которая представляет собой поле, которое принимает значение на многообразии. Я думаю, некоторые люди называют это «нелинейным полем». Более распространенное использование - «поле, уравнение которого нелинейно».

Во-первых, в чем разница между линейными и нелинейными физическими процессами? Если отклонение системы от равновесия мало, то говорят, что система линейна. Формально в этом случае система описывается линейным уравнением. Простым примером линейной системы является маятник, совершающий небольшие колебания вблизи равновесного (вертикального) положения.

Другое определение линейной системы состоит в том, что это система, которая линейно «отвечает» на внешнее возмущение. «Линейный отклик» означает, что реакция системы (сигнал) пропорциональна силе возмущения. Обычными примерами являются закон Гука F=k*X и закон Ома U=R*I, где k и R не зависят от X и I соответственно.

Теперь, если отклонение системы от равновесия велико, то система (или процесс) нелинейна. Например, колебание маятника с большим (> ~30 градусов) отклонением является нелинейным процессом. Альтернативный взгляд, если параметры системы зависят от возмущения, то реакция системы нелинейна. В приведенных выше примерах, если коэффициент эластичности k зависит от X или сопротивление R от I, то система является нелинейной.

Можно сказать, что все процессы в природе нелинейны. Однако если отклонение невелико, то процесс можно рассматривать (математически трактовать) как линейный. Это всего лишь отражение того простого факта, что любая функция$f(x)$может быть представлена ​​в виде линейной функции, если$x$маленький,$f(x) \approx f(0)+f'(0) x$.

«Поле» используется при описании протяженной системы, причем отклонение от равновесия различно в разных точках системы. Обычными примерами являются колеблющаяся струна, электромагнитное поле и т. д.

Наконец, если вы рассматриваете расширенную систему с большим отклонением от равновесия, вам нужно использовать нелинейную теорию поля.