Какие именно разделы есть в калибровочных теориях?

Пытаясь точно понять, как теория пучков волокон соотносится с физическими моделями, я наткнулся на эту цитату:

Мы можем думать об элементах основного расслоения как об обобщенных фреймах исходного расслоения. Это означает, что они соответствуют различным способам преобразования внутренней динамики, абстрактно описанной участком пучка волокон, в нечто конкретное, наблюдаемое нами.

Эти обобщенные фреймы часто называют «калибрами». Структурная группа основного расслоения называется «калибровочной группой», а автоморфизм основного расслоения, фиксирующий базу, называется «калибровочным преобразованием».

В случае векторного расслоения это означает, что, выбирая калибровку или ортонормированный репер для слоя, мы получаем набор чисел: координаты сечения относительно репера.

Поэтому, пожалуйста, скажите мне, правильно ли я понимаю: здесь у нас есть два логически различных расслоения: основное расслоение и связанное с ним векторное расслоение. Ассоциированный пучок — это «поле материи», сечения которого представляют наблюдаемые величины, например фазу, а главный пучок — это пучок «обобщенных систем отсчета», чьи сечения представляют собой базы, которые мы используем для численного описания сечений ассоциированного пучка?

Это верно?

Извините, если это расплывчато. Я пытаюсь понять, как техническая математика пучков волокон соотносится с тем, что я знаю из физики.

Не могли бы вы указать источник этой цитаты?

Ответы (1)

  1. Принципиальное расслоение можно рассматривать как расширение пространства-времени: для заданной калибровочной группы г и главный г пучок π : п → М над пространством-временем М , получаем локально
    π − 1 ( U ) ≅ U × г ,   U ⊂ М
    поскольку PFB - это просто пучок волокон с волокном г . В случае U ( 1 ) , можно думать о PFB как о способе отслеживания фазы, которую данная частица имеет в данной точке пространства-времени, в более общем смысле, можно думать о ней как о способе явного кодирования внутренних свойств частицы (есть и другие ) . примеры, но пока опустим их).
  2. Представительство р : г → В в векторном пространстве В следует рассматривать как «правило преобразования», т. е. как поле преобразуется при калибровочном преобразовании. Примеры включают вращения в изопиновом пространстве (хотя они и не являются «настоящей» калибровочной теорией), а также хорошо известную U ( 1 ) калибровочное преобразование, см. также этот мой ответ .
  3. Учитывая представление р как и выше, можно сформировать ассоциированное векторное расслоение
    Е "=" п × р В ,
    которое в формализме принципиального расслоения используется вместо векторного пространства В . Точнее, возьмем любое (классическое) поле, например поле Дирака, являющееся гладкой функцией
    ψ : р 1 , 3 → С 4
    удовлетворяющие уравнению Дирака . В нашем новом формализме поля были бы гладкими сечениями
    Ψ : М → Е .
    Поля материи тогда можно было бы рассматривать как участки Ψ а не в комплекте.

  4. Выбор манометра обычно рассматривается как выбор местного участка для п . Следует подчеркнуть локальность, поскольку, как правило, невозможно выбрать глобальные разделы. С помощью локального раздела «все» можно вернуть в U ⊂ М которое затем дает калибровочно-инвариантные ( и , вообще говоря, «искривленные») дифференциальные уравнения, например, уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени . . Конкретно это можно было бы сделать следующим образом: при заданном «поле материи»

    Ψ : М → Е
    и (местный) раздел
    с : U → п
    можно (локально) написать
    Ψ ( Икс ) "=" [ с ( Икс ) , ψ ′ ( Икс ) ]
    (по определению Е ). Теперь раздел с определяет семейство изоморфизмов ( [ с ( Икс ) ] ) Икс е U который для фиксированного Икс 0 е U , дан кем-то
    [ с ( Икс 0 ) ] : В → Е Икс 0 , в ↦ [ с ( Икс 0 ) , в ]
    где я обозначил волокно Е над Икс 0 к Е Икс 0 . Используя это семейство изоморфизмов, мы получаем функцию
    ψ ′ : U → В ,   Икс ↦ ψ ′ ( Икс )
    которые затем можно использовать для расчетов.

Какие именно разделы есть в калибровочных теориях?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v