Контравариантные/ковариантные векторы или компоненты?

Я смог разобрать эти вещи в голове только после Халмоша и Греуба.

Давайте сначала поговорим об абстрактных векторах. Давайте определим контравариантные векторы как «обычные» векторы:

$$\mathbf{V}=V^i\,\mathbf{e}_i\in \mathcal{V}$$

Где$\mathbf{V}$вектор,$V^i$являются компонентами, и$\{\mathbf{e}_i\}_{i=1\dots N}$является основой для этого N-мерного векторного пространства$\mathcal{V}$(здесь речь идет только о конечномерных векторных пространствах).

Когда у вас будет эта структура, вы обнаружите, что мы редко можем применить ее непосредственно к реальному миру, причина в том, что мы обычно можем измерять скаляры, а не векторы. Измерение нескольких скаляров может привести к вектору, но это не одношаговый процесс.

Итак, что нам нужно, так это способы сведения векторов к скалярам (пока вещественным). Их мы называем функционалами:

$$\mathbf{u}:\mathcal{V}\to\mathbb{R}$$

Особый класс среди этих функционалов составляют линейные однородные функционалы. Назовем пространство таких функционалов$\mathcal{V}^*$. Так что если$\mathbf{u}\in \mathcal{V}^*$, и$\mathbf{v},\,\mathbf{w}\in \mathcal{V}$и$\alpha,\beta\in \mathbb{R}$

$$\begin{align} \mathbf{u}:\mathcal{V}\to\mathbb{R}\\ \mathbf{u}\left(\alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{w}\right)=\alpha\cdot\mathbf{u}\left(\mathbf{v}\right)+\beta\cdot\mathbf{u}\left(\mathbf{w}\right) \\ \mathbf{u}\left(\mathbf{0}\right)=0 \end{align}$$

Примером такого функционала может быть$\mathbf{u}$который просто возвращает «x-компоненту» любого переданного ему вектора.

Затем мы можем спросить, как мы можем систематически исследовать возможных членов$\mathcal{V}^*$. Тогда мы обнаружим, что единственное, что имеет значение, это то, какие числа присвоены базисным векторам$\mathcal{V}$. В основном мы определяем следующий набор функционалов:

$$\mathbf{q}^j\left(\mathbf{e}_i\right)=\begin{cases} 1,\quad i=j\\ 0,\quad otherwise \end{cases}=\delta^j_i$$

И тогда любой$\mathbf{u}\in\mathcal{V}^*$можно выразить как:

$$\mathbf{u}=u_i\mathbf{q}^i$$

Так что для любого$\mathbf{v}=v^i\mathbf{e}_i$в$\mathcal{V}$:

$$\mathbf{u}\left(\mathbf{v}\right)=u_j \mathbf{q}^j\left(v^i\mathbf{e}_i\right)=u_jv^i \mathbf{q}^j\left(\mathbf{e}_i\right)=u_iv^i$$

По сути$\mathcal{V}^*$само является векторным пространством с базой$\{\mathbf{q}^j\}_{j=1\dots N}$, который индуцируется$\mathcal{V}$. Это мы называем двойственным пространством. Это ваши ковариантные векторы.

Вот почему ковариантные и контравариантные векторы различны, первые являются линейными функционалами последних (и наоборот)

Примером, не относящимся к GR, где становится важным различие между ко- и контравариантными векторами, является кристаллография. Обычно базисные векторы выравнивают с кристаллической осью, и тогда ковариантные векторы находятся в обратном пространстве .

Мы часто можем делать вид, что двойственное пространство такое же, как и исходное векторное пространство, потому что они изоморфны (для конечных векторных пространств), отсюда и возникает путаница.

Вопрос 1 : Нет, векторы могут принадлежать контравариантному векторному пространству, если они принадлежат ковариантному векторному пространству, то это линейный функционал. Сказав это, такие вещи, как прямые суммы и тензорные произведения, можно использовать для построения новых векторных пространств:$\mathcal{V}\oplus\mathcal{V}^*$и$\mathcal{V}\otimes\mathcal{V}^*$- там все усложняется.

Вопрос 3 : Да. Это в определении векторного пространства. Любая линейная комбинация векторов в пространстве принадлежит пространству

Наконец вы говорите об объекте$g_{ij}$. Учитывая подходящие свойства, он устанавливает карту$\mathcal{V}\to\mathcal{V}^*$. Хотя я никогда не работал с векторными пространствами, где такая карта не может быть определена, я не вижу причин, чтобы она всегда присутствовала, и не вижу причин, чтобы она была уникальной. Так лечить$g_{ij}$в качестве доп. Следовательно, нет противоречия.$\mathcal{V}$и$\mathcal{V}^*$изоморфны, но различны для конечных векторных пространств, поэтому вы можете определить изоморфизм$g:\mathcal{V}\to\mathcal{V}^*$между ними.

PS: когда дело доходит до многообразий, в каждой точке многообразия строится векторное пространство из частных производных, поэтому векторы определяются как$V=v^i\partial_i$. Это касательное векторное пространство. Двойственное к этому пространство — это пространство дифференциальных форм , снова определенное в каждой точке многообразия.

$$\mathbf{v} = q_i \mathbf{e^i} = q^i \mathbf{e_i}$$

Ой! Базисные векторы$\mathbf{e_i}$и$\mathbf{e^i}$принадлежат разным векторным пространствам, а именно векторному пространству и двойственному ему. Использование знака равенства в данном контексте просто неправильно! Векторное пространство и его двойственное пространство являются математически разными объектами, но равенство означает, что они математически одинаковы, что неверно. Я сказал в своем ответе на связанный вопрос, что

мы склонны думать о контравариантных и ковариантных векторах как о разных описаниях одного и того же вектора.

но формально в математике это разные объекты. Итак, это зависит. Вам нужно неформальное, интуитивное понятие, подходящее для большинства практических целей, и в этом случае вы можете думать о контравариантных и ковариантных векторах как о разных описаниях одного и того же объекта, или вы ищете математически строгое и точное утверждение, которое будет никогда не приведет вас к тому противоречию, к которому вы пришли? Если второе, то вы должны рассматривать векторное пространство как отличное от его двойственного и придерживаться математически строгого языка.