Можно ли визуализировать теорию чисел?

Одна сверкающая жемчужина на стыке теории чисел и геометрии — это генерация Обри примитивных пифагорейских троек, т. е. взаимно простых натуральных чисел.$\,(x,y,z)\,$с$\,x^2 + y^2 = z^2.\,$Деление на$z^2$урожаи$\,(x/z)^2\!+(y/z)^2 = 1,\,$поэтому каждой тройке соответствует рациональная точка$(x/z,\,y/z)$на единичной окружности. Обри показал, что мы можем сгенерировать все такие тройки с помощью очень простого геометрического процесса. Начните с тривиального пункта$(0,-1)$. Нарисуйте линию до точки$\,P = (1,1).\,$Он пересекает окружность в рациональной точке$\,A = (4/5,3/5)\,$что дает тройку$\,(3,4,5).\,$Далее отразите точку$\,A\,$в другие квадранты, взяв все возможные знаки каждой компоненты, т.е.$\,(\pm4/5,\pm3/5),\,$давая вписанный прямоугольник ниже. Как и прежде, линия через$\,A_B = (-4/5,-3/5)\,$и$P$пересекает окружность в$\,B = (12/13, 5/13),\,$что дает тройку$\,(12,5,13).\,$Точно так же точки$\,A_C,\, A_D\,$давать тройки$\,(20,21,29)\,$и$\,(8,15,17),\,$
Мы можем повторить этот процесс с новыми точками$\,B,C,D\,$делаем то же самое, что и для$\,A,\,$получение дополнительных троек. По индукции этот процесс порождает примитивные тройки в виде троичного дерева.

$\qquad\qquad$
Спуск по дереву задается формулой ( рефлективный геометрический генезис которой приведен ниже)

например$\ (12,5,13)\mapsto (12,5,13)-8(1,1,1) = (-3,4,5),\ $уступающий$\,(4/5,3/5)\,$при отражении в первом квадранте.

Восхождение по дереву происходит путем инвертирования этой карты в сочетании с тривиальными отражениями, меняющими знак:

$\quad\quad (-3,+4,5) \,\mapsto\, (-3,+4,5) - 2 \; (-3+4-5) \; (1,1,1) = ( 5,12,13)$

$\quad\quad (-3,-4,5) \,\mapsto\, (-3,-4,5) - 2 \; (-3-4-5) \; (1,1,1) = (21,20,29)$

$\quad\quad (+3,-4,5) \,\mapsto\, (+3,-4,5) - 2 \; (+3-4-5) \; (1,1,1) = (15,8,17)$

Продолжая таким образом, мы можем рефлективно сгенерировать все дерево примитивных пифагорейских троек, например, самое верхнее ребро дерева троек соответствует возрастанию$C$- вписанная зигзагообразная линия$(-1,0), (3/5,4/5), (-3/5,4/5), (5/12,12/13), (-5/12,12/13), (7/25,24/25), (-7/25,24/25) \ldots$

Давайте посмотрим немного ближе на лежащую в основе геометрию. Рассмотрим квадратичное пространство$Z$формы$Q(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2\,$с лоренцевым скалярным произведением$(Q(x\!+\!y)-Q(x)-Q(y))/2\,$данный

$\qquad v \cdot u\, =\, v_1 u_1 + v_2 u_2 - v_3 u_3.\ \ $Напомним, что отражение$v$в$u$дан кем-то

$\quad\quad v\, \mapsto\, v - 2 \dfrac{v \cdot u}{u \cdot u} u \quad$Отражающая способность очевидна:$\; u \mapsto -u$, и$\; v \mapsto v$если$\; v\perp u, \;$то есть$v\cdot u = 0$.

С$\; v = (x,y,z)$и$\; u = (1,1,1)$нормы$1$у нас есть

$\quad\quad (x,y,z)\; \mapsto (x,y,z) - 2 \dfrac{(x,y,z)\cdot(1,1,1)}{(1,1,1)\cdot(1,1,1)} (1,1,1)$

$\qquad\qquad\qquad =\, (x,y,z) - 2 \; (x\!+\!y\!-\!z) \; (1,1,1)$

$\qquad\qquad\qquad =\, (-x\!-\!2y\!+\!2z, \; -2x\!-\!y\!+\!2z, \; -2x\!-\!2y\!+\!3z)$

Это нетривиальное отражение, которое влияет на спуск в дереве троек. Сказал проще:если$\,x^2 + y^2 = z^2\,$затем$\,(x/z, y/z)\,$является рациональной точкой$P$на единичном круге$C$то простой расчет показывает, что линия, проходящая через$P$и$(1,1)$пересекается$C$в меньшей рациональной точке, заданной проективно посредством приведенного выше отражения.

Этот метод легко обобщается на вид$x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_{n-1}^2 = x_n^2$для$4 \le n \le 9$, но для$n \ge 10$пифагорейские n-кортежи попадают по крайней мере в$[(n+6)/8]$различные орбиты под группой автоморфизмов вида - см. Cass & Arpaia (1990) [1]

Имеются также обобщения различных форм формы, впервые использованные Л. Обри (Sphinx-Edipe 7 (1912), 81-84) для элементарных доказательств$3$&$4$теорема о квадратах (см. Приложение 3.2, стр. 292 книги Вейла: Теория чисел и подход через историю ). Эти результаты показывают, что если целое число представлено формой рационально, то оно должно быть таковым и интегрально. Метод также применим к следующим формам$x^2+y^2, x^2 \pm 2y^2, x^2 \pm 3y^2, x^2+y^2+2z^2, x^2+y^2+z^2+t^2,\ldots$Точнее, по существу то же самое доказательство, что и для пифагорейских троек, показывает

Теорема Предположим, что$n$-арная квадратичная форма$F(x)$имеет целые коэффициенты и не имеет нетривиальных нулей в${\mathbb Z}^n$, и предположим, что для любого$x \in {\mathbb Q}^n$есть$\,y \in {\mathbb Z}^n$такой, что$\; |F(x\!-\!y)| < 1$. Затем$F$представляет$m$над$\mathbb Q$ $\iff$ $F$представляет$m$над$\mathbb Z$, для всех ненулевых целых чисел$m$.

Состояние$|F(x\!-\!y)| < 1$тесно связан с алгоритмом Евклида. На самом деле существует аналог функционального поля, использующий алгоритм Евклида, независимо заново открытый Касселем в 1963 году:полином представляет собой сумму$n$квадраты в$k(x)$если то же самое верно в$k[x]$. Пфистер немедленно применил это, чтобы получить полное решение проблемы уровней для полей. Вскоре после этого он обобщил результат Касселя на произвольные квадратичные формы, основав современную алгебраическую теорию квадратичных форм («формы Пфистера»).

Результаты Обри на самом деле являются очень частными случаями общих результатов Уолла, Винберга, Шарлау и др. на рефлективных решетках , т. е. арифметических группах изометрий, порожденных отражениями в гиперплоскостях. Обычно отражения порождают ортогональную группу лоренцевских квадратичных форм в dim$< 10$.

[1] Дэниел Касс; Паскуале Дж. Арпайя
Генерация матриц пифагорейских n-кортежей.
проц. амер. Мат. соц. 109, 1, 1990, 1-7.

Существует область, называемая арифметической геометрией , которая использует связи между арифметическими и алгебро-геометрическими вопросами.

Например, знаменитые уравнения Ферма$X^n + Y^n = Z^n$можно рассматривать как кривую в проективном пространстве, называемую кривыми Ферма , и для ее изучения можно использовать геометрические инструменты.

Аффинная часть, т.$X^n + Y^n = 1$находится где-то между кругом и квадратом; для маленьких$n$близко к кругу (хорошо для$n=2$это конечно круг, но для ФЛТ это не актуально) ан для больших$n$он приближается к квадратной форме.

Алгебра Клиффорда, также известная как геометрическая алгебра, представляет собой наиболее необычное синергетическое слияние разнообразных специализированных математических областей, каждая из которых имеет свои собственные методы и формализмы, и все они находят единый унифицированный формализм в рамках алгебры Клиффорда. Это объединяющий язык для математики и раскрывающий язык для физики.

Алгебра Клиффорда: визуальное введение

Не ответ, но, возможно, хороший вклад в обсуждение. Это со страницы 261 блестящей книги Шивон Роберт « Гений в игре» , биографии Джона Х. Конвея. Она цитирует Конвея:

Когда мы впервые работали над АТЛАСом [конечных групп], мы не очень оценили его. Так что вы не будете. Я думаю, что лучше не объяснять вещи цифрами. Я использую числа неохотно. Только так я могу понять все прелести этих групп. Я бы сделал что-нибудь другое - рисовал бы картинки, если бы мог, - но я не могу рисовать красиво симметричные вещи в 7-мерном пространстве... Для меня числа заменяют осязание, осязание, зрение и все остальное. В многомерном пространстве я не могу прикоснуться к нему, не могу его почувствовать, не могу его увидеть. Я могу рассчитать, но расчет не в этом. Цифры — это набор инструкций. Набор инструкций некрасив, но это и есть цифры, набор инструкций, пункт за пунктом.

https://en.wikipedia.org/wiki/ATLAS_of_Finite_Groups

http://www.amazon.com/Atlas-Finite-Groups-Subgroups-Characters/dp/0198531990

http://www.amazon.com/Genius-At-Play-Curious-Horton/dp/1620405938