«Векторы на самом деле не числа» — насколько правильно это утверждение?

Что касается сложения и вычитания, то векторы ведут себя точно так же, как любое понятие числа, которое вы хотите назвать. Но поэлементное умножение сложнее: проблема деления на ноль усложняется, например, до деления на векторы с любым нулевым входом. Более того, у поэлементного умножения меньше применений, чем у скалярного и векторного произведения. Последние имеют физический и геометрический смысл, которого нет у первых. Это самая важная причина, по которой мы используем их чаще.

Вообще слово «число» должно относиться не к отдельному объекту, а к множеству. Затем вы можете сказать, что набор представляет собой набор «чисел», если вы можете сложить и умножить любые два элемента набора, чтобы получить третий элемент набора, удовлетворяющий определенным отношениям (дистрибутивность, ассоциативность и т. д.). Обратите внимание, что это определение основано на возможности добавления двух чисел в набор, поэтому любой отдельный элемент набора нельзя назвать числом без ссылки на окружающий «набор чисел». Таким образом, набор чисел, «определенный» таким образом, на самом деле является просто кольцом (или, если это особенно приятно, полем).

Точно так же слово «вектор» не должно относиться к одному объекту, а опять же к набору. То есть множество есть «векторное пространство» над некоторым полем.$K$если оно удовлетворяет аксиомам векторного пространства (см. определение векторного пространства в Википедии).

Обратите внимание, что поле$K$удовлетворяет аксиомам векторного пространства, и, таким образом, элементы$K$можно рассматривать как числа, так и векторы. Это становится особенно полезным при изучении расширений полей.$L/K$, где сейчас$L$представляет собой многомерное векторное пространство над$K$, поэтому элементы$L$являются и числами, и векторами.

В любом случае, ответ на ваш вопрос, как я его вижу, заключается в том, что типичные определения/понятия чисел и векторов просто разные . Кольцо иногда является векторным пространством (если содержит поле), а в противном случае - нет. Точно так же векторное пространство обычно не является кольцом/полем, потому что вы не всегда можете умножать векторы, но некоторые векторные пространства являются ими. Другими словами, число против вектора не похоже на разницу между яблоком и апельсином. Числа против векторов больше похожи на «высоких людей» против «тощих людей». Кто-то может быть высоким, худым, и тем и другим, или ни тем, ни другим.

В вашем вопросе упоминается сложение и вычитание, а также показаны аналогии между сложением и вычитанием чисел, с одной стороны, и сложением и вычитанием векторов, с другой стороны.

Но числа, как обычно понимают, имеют больше операций и отношений, чем просто сложение и вычитание. Например, числа имеют отношение двоичного порядка, и порядок подчиняется таким законам, как

1. $a<b$и$b<c$подразумевает$a<c$
2. $a<b$подразумевает$a+c<b+c$

Векторы, как правило, не имеют такого отношения порядка. Таким образом, векторы на самом деле не являются числами.

Один из способов увидеть, что векторы «являются числами», состоит в том, чтобы проследить эволюцию концепции или, можно сказать, ее генеалогию, которая не претендует на точную историческую достоверность, но формулирует математическое значение.

Теперь, начиная с положительных целых чисел, их можно замкнуть на сложение, чтобы получить целые числа; а затем при умножении, чтобы получить рациональные числа, но в этом есть «пробелы»; таким образом, мы завершаем их, включая иррациональные числа, которые дают нам действительные числа.

Теперь мы вступаем в царство геометрии, замечая, что это просто (реальная) прямая линия, но есть геометрические объекты, такие как плоскости и объемы, из которых мы открываем понятие измерения; и, таким образом, мы «завершаем» по размерности, чтобы получить понятие n-мерного векторного пространства.

Стоит отметить, что внутреннее или скалярное произведение очевидным образом обобщается на произвольные размеры; но перекрестный продукт - нет, по крайней мере, не напрямую; правильная концепция, которая заменяет это, - это продукт клина.

Векторы — это не числа, различия гораздо важнее, чем сходства.

• Векторы представляют не величины, как числа, а направления. В то время как математики определяют векторы более абстрактно, как любой список чисел ( кортежей ), физики более строги: каждый компонент вектора имеет одинаковую размерность, и вы можете перемещать (перемещать и вращать) вектор, применяя вращательные и поступательные матрицы ( это двумерные объекты, вы также можете видеть их как векторы векторов). Число безразмерно, его нельзя использовать для моделирования направлений или поворотов .

• Делить на вектор нельзя. То, что называется умножением для чисел, является масштабированием для векторов, и поскольку у нас есть часть направления/вращения, существуют операции, называемые «умножением», которые точно моделируют это. (Я не добавляю здесь четырехвекторное произведение).

  • Скалярное произведение : у вас есть два вектора, и вы хотите знать, показывают ли они одно и то же направление. Применение скалярного произведения дает вам число (!) в результате двух векторов и возвращает значение в диапазоне от -(длина вектора) до (длина вектора). Если он равен 0, два вектора перпендикулярны; это также один случай, отличный от чисел. Если ни a, ни b не равны нулю, то a*b не может быть нулевым, если a и b — числа; это не относится к векторам. Это также позволяет умножить матрицу на вектор, чтобы получить матрицу.

  • Перекрестное произведение : у вас есть два вектора, и вы хотите иметь вектор, перпендикулярный заданным двум векторам. Длина результирующего вектора зависит от того, насколько перпендикулярны сами два вектора. Если они перпендикулярны друг другу, то длина будет произведением их длин, если они равны, результирующий вектор равен нулю (логично: перпендикулярность больше невозможна).

  • Двоичное произведение : создает матрицу из двух векторов. Объяснение того, что он делает, было бы длинным. Никаких цифр вообще не задействовано, так что не интересно.

Что действительно интересно: Если вы комбинируете числа, результат всегда не определяется или само число. С векторами дело обстоит иначе: результатом может быть число, вектор или матрица.

Причина, по которой вы замечаете это сходство, заключается в том, что многие из этих структур являются алгебраическими. Векторы представляют собой группу, подобную обычным числам, и даже кольцо с векторным произведением. Однако одна важная вещь заключается в том, что умножение на скаляр в векторных пространствах принадлежит только модулям, а числа не являются модулями.

Другой пример того, что «похоже на число», — это симметрия. Возьмите равносторонний треугольник и посмотрите, как можно составить эти симметрии. Это ассоциативно и имеет ноль, как числа, но также имеет различия между числами. В общем, есть много вещей, подобных числам (рассматриваемым в абстрактной алгебре), но не называемых числами.