Что-то особенное в собственных состояниях энергии, когда речь идет об эволюции во времени?

Question

Что-то особенное в собственных состояниях энергии, когда речь идет об эволюции во времени?

ПОЖАР

На частицу действует потенциал бесконечной прямоугольной ямы с

В (Икс) "=" {\begin{cases} 0 & - а < Икс < а \\ \infty & в противном случае \end{cases}

$V(x)= \begin{cases} 0 & −a \lt x \lt a\\ \infty & \,\,\,\,\text{otherwise} \end{cases}$

Вовремя $t=0$ его волновая функция определяется выражением

ψ (Икс, т "=" 0) "=" \frac{1}{\sqrt{5 а}} потому что (\frac{π Икс}{2 а}) + \frac{2}{\sqrt{5 а}} грех (\frac{π Икс}{а})

$\psi(x, t=0)=\frac{1}{\sqrt{5a}}\cos\left(\frac{\pi x}{2a}\right)+\frac{2}{\sqrt{5a}}\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)$

а) Каковы возможные результаты измерения энергии при $t = 0$ , и с какими вероятностями?

Переписать термины в $\psi(x,t=0)$ как

{ты}_{1} (Икс) "=" а^{- 1 / 2} потому что (\frac{π Икс}{2 а}) & {ты}_{2} (Икс) "=" а^{- 1 / 2} грех (\frac{π Икс}{а})

$u_1(x)=a^{-1/2}\cos\left(\frac{\pi x}{2a}\right)\qquad \text{&} \qquad u_2(x)=a^{-1/2}\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)$ такой, что

ψ (Икс, т "=" 0) "=" \frac{1}{\sqrt{5}} {ты}_{1} (Икс) + \frac{2}{\sqrt{5}} {ты}_{2} (Икс)

$\psi(x,t=0)= \frac{1}{\sqrt{5}}u_1(x)+\frac{2}{\sqrt{5}}u_2(x)$ с энергиями

Е_{1} "=" \frac{ℏ^{2} π^{2}}{8 м а^{2}} & Е_{2} "=" \frac{ℏ^{2} π^{2}}{2 м а^{2}}

$E_1=\frac{\hbar^2 \pi^2}{8ma^2}\qquad \text{&} \qquad E_2=\frac{\hbar^2 \pi^2}{2ma^2}$ и вероятности

п (Е_{1}) "=" \frac{1}{5} & п (Е_{2}) "=" \frac{4}{5}

$P(E_1)=\frac15 \qquad \text{&} \qquad P(E_2)=\frac45$

(b) Если не проводить измерения, какова волновая функция? $\psi(x, t)$ во все времена $t$ ? Каковы возможные энергии и их вероятности, если измерение сначала выполняется в момент времени $t$ ?

Вовремя $t$ волновая функция определяется выражением

ψ (Икс, т "=" 0) "=" \frac{1}{\sqrt{5 а}} потому что (\frac{π Икс}{2 а}) опыт (\frac{- я Е_{1} т}{ℏ}) + \frac{2}{\sqrt{5 а}} грех (\frac{π Икс}{а}) опыт (\frac{- я Е_{2} т}{ℏ})

$\psi(x, t=0)=\frac{1}{\sqrt{5a}}\cos\left(\frac{\pi x}{2a}\right)\exp\left(\frac{-i E_1 t}{\hbar}\right)+\frac{2}{\sqrt{5a}}\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)\exp\left(\frac{-i E_2 t}{\hbar}\right)$

Проблема в том, что я не могу ответить на вторую часть вопроса (б).

В ответе говорится, что:

Поскольку два члена являются энергетическими собственными состояниями, относительные вероятности не меняются и остаются такими же, как в предыдущей части.

У меня есть несколько вопросов по поводу приведенного выше утверждения: почему «энергетическое собственное состояние» означает, что вероятности не меняются со временем? Или, другими словами, имеет ли «собственное состояние импульса» (например) постоянные относительные вероятности при измерении в любой момент времени?

Ответ, кажется, подразумевает, что есть что-то особенное в собственных состояниях энергии, когда дело доходит до эволюции во времени. Собственные значения измерений энергии, по-видимому, не меняются независимо от того, сколько раз вы их измеряете и сколько времени вы ждете, пока не измерите их. Я не уверен, так ли это, но может кто-нибудь объяснить, почему все квантовые операторы (кроме гамильтониана) не демонстрируют такого поведения.

Ответы (2)

Что-то особенное в собственных состояниях энергии, когда речь идет об эволюции во времени?

Равётск · Answer 1

Причина того, почему собственные энергетические состояния являются особыми, заключается в уравнении Шрёдингера

я ℏ \frac{\partial}{\partial т} Ψ (Икс, т) "=" \hat{ЧАС} Ψ (Икс, т)

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) = \hat{H} \Psi(x,t)$ Если

\hat{H}

$\hat{H}$ не зависит от времени, решение уравнения дается выражением

Ψ (Икс, т) "=" е^{- \frac{я}{ℏ} \hat{ЧАС} т} Ψ (Икс, 0)

$\Psi(x,t)= e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H} t} \, \Psi(x,0)$

Тот факт, что собственные состояния энергии являются особыми по отношению к эволюции во времени, обусловлен именно тем фактом, что гамильтониан контролирует эволюцию системы во времени, как указано в приведенном выше уравнении.

Если вы расширите свое начальное состояние $\Psi(x,0)$ в терминах собственных состояний гамильтониана, то действие экспоненциального оператора на эти состояния легко дается. Предполагать $\psi_n(x)$ представляет состояние энергии $E_n$ и предположим, что вы можете расширить свое начальное состояние как

Ψ (Икс, 0) "=" \sum_{н} с_{н} ψ_{н} (Икс)

$\Psi(x,0) = \sum_n c_n \psi_n(x)$ где

c_{n}

$c_n$ постоянны (не зависят от времени). Тогда полное решение уравнения Шрёдингера будет

Ψ (Икс, т) "=" \sum_{н} с_{н} е^{- \frac{я}{ℏ} Е_{н} т} ψ_{н} (Икс)

$\Psi(x,t) = \sum_n c_n e^{-\frac{i}{\hbar} E_n t} \psi_n(x)$ Теперь, потому что

c_{n}

$c_n$ не зависят от времени, вероятность того, что система находится в определенном собственном энергетическом состоянии, одинакова во все времена. Это можно увидеть, рассчитав

| ⟨ ψ_{m} | Ψ (x, t) ⟩ |^{2} = | c_{m} |^{2}

$|\langle \psi_m | \Psi(x,t) \rangle|^2=|c_m|^2$

Причина, по которой для других операторов это может быть неверно для случайного оператора, скажем $\hat{B}$ это связано с тем, что собственные состояния этого оператора не могут развиваться независимо. По мере эволюции во времени они могут смешиваться друг с другом. Другими словами, если вы разложите случайное начальное состояние по собственным состояниям оператора $\hat{B}$ а затем посмотрите на проекцию на собственное состояние после некоторой эволюции, коэффициент изменится. Немного поработав, вы можете понять, что условие того, что коэффициенты остаются независимыми от времени, состоит в том, что оператор $\hat{B}$ коммутирует с гамильтонианом, т.е. $[\hat{H},\hat{B}]=0$ .

PS - Как указано в комментариях @ACuriousMind, хотя $[\hat{H},\hat{B}]=0$ необходимо, может быть недостаточно гарантировать, что коэффициенты не зависят от времени. В конечном итоге вам нужен общий собственный базис для операторов $\hat{B}$ и $\hat{H}$ чтобы гарантировать, что временная эволюция не смешивает состояния.

любопытный разум · Answer 2

Энергетическое собственное состояние является собственным состоянием гамильтониана $H$ . Если гамильтониан не зависит от времени, то оператор временной эволюции имеет вид $U(t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}Ht}$ , поэтому каждое собственное состояние энергии также является собственным состоянием оператора временной эволюции, что означает, что оно остается тем же состоянием при временной эволюции.

Никакой другой оператор не проявляет эту специфическую особенность для своих собственных состояний, потому что гамильтониан является особенным, поскольку он связан с временной эволюцией через уравнение Шредингера.

Что-то особенное в собственных состояниях энергии, когда речь идет об эволюции во времени?

ПОЖАР

Ответы (2)

Равётск

любопытный разум

Решение задачи о свободных частицах в импульсном пространстве

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Ожидаемое значение гамильтониана?

Как доказать, что dp/dt = -dV/dx? Квантовая механика [закрыто]

Как определить волновую функцию свободной частицы в сложной потенциальной функции?

Как найти число ограниченных состояний в этом потенциале?

Нахождение полной волновой функции при всех ttt с заданной начальной волновой функцией при t=0t=0t=0 [закрыто]

Двумерный изотропный квантовый гармонический осциллятор: полярные координаты

Волновая функция частицы в гравитационном поле