Решение задачи о свободных частицах в импульсном пространстве

(Примечание: этот вопрос задавался здесь раньше , но я не следил за ответом.)

Для свободной частицы уравнение Шредингера имеет вид

я ℏ г г т | ψ ( т ) ⟩ "=" п 2 2 м | ψ ( т ) ⟩ .

Я хотел бы решить для волновой функции в импульсном пространстве, т.е. ψ ( п , т ) "=" ⟨ п | ψ ( т ) ⟩ . Мой первый шаг состоял в том, чтобы попытаться решить проблему собственных значений

ЧАС | Е ⟩ "=" п 2 2 м | Е ⟩ "=" Е | Е ⟩
в импульсном пространстве, что дает
1 2 м ⟨ п | п 2 | Е ⟩ "=" Е ⟨ п | Е ⟩ , п 2 2 м ψ Е ( п ) "=" Е ψ Е ( п ) .
где п | п ⟩ "=" п | п ⟩ и ψ Е ( п ) "=" ⟨ п | Е ⟩ .

Я не совсем уверен, куда идти отсюда, чтобы определить Е и ψ Е ( п ) . Кажется, что Е "=" п 2 / 2 м , но то, что п меня смущает переменная.

Ответы (2)

Другой способ взглянуть на эту проблему — рассмотреть ее в позиционном пространстве, а затем преобразовать решение в представление в импульсном пространстве. Хотя это может показаться ненужным объемом работы, это может показать вам решение дельта-функции по-другому. Итак, в позиционном пространстве имеем

− ℏ 2 2 м г 2 ψ г Икс 2 "=" Е ψ → κ 2 ≡ 2 м Е / ℏ 2 г 2 ψ г Икс 2 "=" − κ 2 ψ → ψ ( Икс ) "=" А е я κ Икс + Б е − я κ Икс

Прежде чем преобразовать это в представление импульсного пространства, вспомните интегральное представление дельта-функции Дирака (которое можно получить, рассматривая ортогональность собственных состояний положения или импульса):

дельта ( α − β ) "=" 1 2 π ℏ ∫ е я Икс ( α − β ) / ℏ г Икс .

Используя вышеизложенное, давайте преобразуем наше решение Фурье, чтобы получить его импульсное представление:

ψ ( п ) "=" 1 2 π ℏ ∫ ψ ( Икс ) е − я п Икс / ℏ г Икс "=" А 2 π ℏ ∫ е я Икс ( κ − п / ℏ ) г Икс + Б 2 π ℏ ∫ е я Икс ( − κ − п / ℏ ) г Икс "=" 2 π ℏ [ А дельта ( κ − п / ℏ ) + Б дельта ( − κ − п / ℏ ) ] .

Теперь втыкай κ "=" 2 м Е / ℏ , и воспользуемся тем, что дельта ( − Икс ) "=" дельта ( Икс ) и дельта ( α Икс ) "=" дельта ( Икс ) / | α | переписать это как

ψ ( п ) "=" А ~ дельта ( п − 2 м Е ) + Б ~ дельта ( п + 2 м Е ) ,

где я собрал константы и назвал их А ~ и Б ~ для простоты окончательного решения. Очевидно, что это требует больше работы, чем определение того, что решение в импульсном пространстве соответствует поведению дельта-функции, но, возможно, вы найдете этот путь просветляющим; или, по крайней мере, хорошая проверка согласованности.

Спасибо, это действительно опрятно! Меня особенно интересует решение уравнения Шредингера в импульсном пространстве, но это полезный способ проверить.

Вы получаете решение

п 2 2 м ψ Е ( п ) "=" Е ψ Е ( п )
следующее

( п 2 2 м − Е ) ψ Е ( п ) "=" 0

Чтобы это уравнение выполнялось, оно должно быть либо п 2 2 м − Е "=" 0 или ψ Е ( п ) "=" 0 . значит для каждого п за исключением п "=" ± 2 м Е Это должно быть ψ Е ( п ) "=" 0 . Только для п "=" 2 м Е и п "=" − 2 м Е это разрешено ψ Е ( п ) не равно нулю.

Итак, самое общее решение всего этого (с использованием дельта-функции Дирака )

ψ Е ( п ) "=" А дельта ( п − 2 м Е ) + Б дельта ( п + 2 м Е )
где А и Б являются произвольными константами.

Хотя я знаком с дельтой Дирака, мне непонятно, как именно второе уравнение следует из первого.
@JJ Я добавил более подробное объяснение этого.
Е "=" ℏ 2 к 2 / 2 м ?
Это имеет некоторый смысл. Одна проблема: п "=" ± 2 м Е , так что я думаю ψ Е ( п ) "=" А дельта ( п − 2 м Е ) + Б дельта ( п + 2 м Е ) ?
@JJ Да, ты прав. Я забыл этот бит.
Я не понимаю, как вы можете перейти к дельта-функции Дирака из того, что вы дали до сих пор. Все, что я могу сказать, это то, что ваша волновая функция является кусочной функцией.
@AaronStevens Не только по частям. ψ ( п ) должен быть равен нулю почти везде, кроме п "=" ± 2 м Е .
Верно, дельта-функция Дирака — не единственная вещь, обладающая этим свойством. Я не говорю, что вывод неверен, я говорю, что пока скачок к нему не оправдан, основываясь только на этих пунктах.
Я думаю, можно показать, что дельта Дирака — единственная функция в этом случае, которая нормализуется к дельта ( 0 ) , но я не уверен, есть ли другая функция (квадратный корень из дельты Дирака?), Которая нормализуется до единицы.
@JJ Вот что я пытаюсь сказать. Ответ не дал всех необходимых моментов, чтобы сказать, что это дельта-функция Дирака.
Решение задачи о свободных частицах в импульсном пространстве
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v