Что за обозначения индексов в общей теории относительности?

Я самостоятельно изучаю общую теорию относительности по лекциям Леонарда Сасскинда из Стэнфорда. Что меня беспокоит, так это обозначение GR, в частности, обозначение индекса.

Проще говоря , сначала может кто-нибудь объяснить это, а затем перейти к более точному и физическому объяснению того, почему:

  1. Зачем вам нужна вся эта индексная нотация?
  2. Для чего это?
  3. Приведите конкретный (не абстрактный) и простой пример этой нотации в действии.

Ответы на эти вопросы помогут мне больше узнать о GR и познакомят меня с основами GR.

Ваш вопрос очень расплывчатый и простой (вы просите курс GR). Вы должны определить, что вы действительно понимаете, и медленно двигаться от этого. Например, знаете ли вы «что с» всеми обозначениями индексов с матрицами?
@ m4r35n357 Да, я понимаю, что означает обозначение индекса в матрицах, оно предназначено для именования или нумерации компонентов в матрице. Это чтобы указать, о каком компоненте вы говорите. РЕДАКТИРОВАТЬ: Кроме того, я хотел бы сначала понять основы, прежде чем двигаться дальше. Я бы оказал себе медвежью услугу, если бы не понял основ, поэтому не жалею, что спросил.
ну, это расширение этой идеи.
@ m4r35n357 Итак, что бы означало это обозначение? (взято из лекции): gyazo.com/016ca176e9ff0771f91011029ea8f925 , меня смущает y в нем с "показатели".
xm равно ym плюс член, полученный путем умножения (символа Кристоффеля?) c на два вектора. Если вы зашли так далеко, а то, что я сказал, не имело смысла, вы упустили что-то очень важное, и в этом случае я бы предложил начать с нуля с тензорного анализа.
@ m4r35n357 Не то чтобы я совсем не понимал обозначение индекса, я его немного понимал, но я хотел быть уверенным. То, что вы сказали, «это расширение матричной индексации», теперь это имеет смысл.
@Tachyon Вы должны быть осторожны с представлением тензоров в виде матриц. Это визуально полезно, но при этом вы теряете информацию о том, где находятся индексы.

Ответы (3)

  1. Потому что он обеспечивает хороший и простой способ работы с тензорами и операциями, которые существуют между ними. Наряду с соглашением о суммировании индексное обозначение сильно сжимает уравнения, используемые в общей теории относительности.

  2. Это делает манипуляции в общей теории относительности такими же простыми, как знание нескольких правил о том, как индексы могут и не могут взаимодействовать друг с другом.

  3. Даже тот, кто плохо знаком с общей теорией относительности, сможет увидеть, что:

    (1) Т мю г мю ν А мю "=" Икс ν
    является недопустимым тензорным уравнением, потому что мы использовали один и тот же индекс три раза в одном термине (и у нас один и тот же индекс дважды). Если бы мы записали это без обозначения индекса и без соглашения о суммировании, это было бы довольно сложно расшифровать, и не было бы сразу очевидно, что это неверно. Правила индексации/суммирования — это способы визуального упрощения уравнений в ОТО без ущерба для важной информации.

Спасибо за четкое объяснение. Таким образом, использование индексной нотации упрощает тензорные операции и, среди прочего, упрощает вычисления в более общем контексте?
@Tachyon На самом деле это не «просто расчеты», поскольку на самом деле вы не меняете способ численных расчетов, но это делает уравнения общей теории относительности намного, намного легче для чтения. Тем более, что соглашение о суммировании сжимает четыре условия в одно каждый раз, когда оно используется. Возьмем, к примеру, геодезическое уравнение:
г Икс мю г λ + Г о ν мю г Икс о г λ г Икс ν г λ "=" 0 ,
это уравнение имеет два суммирования для одного и того же члена, что обычно означает запись 16 членов, но мы сжали его в 1
Я понимаю что ты имеешь ввиду. Да, это делает вещи лучше.
Я знаю, почему у нас не может быть более двух появлений фиктивных переменных с одной стороны, но почему мы не можем иметь одни и те же переменные «внизу» дважды?
@ JohnyO42 JohnyO42 По двум причинам: 1. Повторяющийся индекс подразумевает суммирование. 2. Только суммирование индексов «вверх» и «вниз» дает объект, который гарантированно является тензором.

Простая причина использования индексной записи заключается в том, что большинство математиков и физиков считают ее (в конечном счете) естественным и интуитивно понятным способом описания тензорных операций. Просто нужно немного поработать, чтобы добраться до «естественной и интуитивной» стадии, но затем г 2 Икс г т 2 Должно быть, это тоже выглядело странно, когда мы впервые столкнулись с этим.

Однако индексная нотация — не единственная игра в городе — Роджер Пенроуз изобрел и отстаивал альтернативную графическую нотацию . Может быть, если бы нас учили этому с первого дня, вы бы спросили: «Что со всеми этими странными диаграммами спагетти в GR?» вместо.

Все дело в различении а − б от б − а .

-1 Потому что я действительно не уверен, что это значит или как это связано с вопросом. Таким образом, я не вижу в этом ответа на этот вопрос. Некоторая разработка, вероятно, будет полезна.
Что за обозначения индексов в общей теории относительности?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v