Разница в ковариантном/контравариантном порядке индексации в тензорах

Question

Разница в ковариантном/контравариантном порядке индексации в тензорах

встроенное_устройство

Предупреждение: вам может быть интересно, почему этого нет в Math Stack Exchange. На самом деле это так. Я задал там тот же вопрос несколько дней назад, но не получил ответа, и поскольку я думаю, что этот вопрос больше направлен на «физический взгляд» на тензоры и связан с Конвенцией Эйнштейна, я оставлю вопрос здесь.

Оригинальный вопрос ниже

Я пытаюсь самостоятельно изучить тензорное исчисление. Я пытался вывести обозначения для ковариантных и контравариантных индексов матрицы линейного преобразования ( $(1,1)$ тип тензора).

Итак, я сделал следующее: $2 \times 2$ случае, а затем попытаться найти закономерность.

Для ковекторов (ковариантный) $x_i$ : (Сначала я предполагаю, что оба индекса матрицы являются контравариантными, просто для простоты обозначений. Позже я «исправлю» это в соответствии с тем, что я нашел).

У нас есть:

[\begin{matrix} {Икс}_{1}^{'} & {Икс}_{2}^{'} \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} {Икс}_{1} & {Икс}_{1} \end{matrix}] [\begin{matrix} а^{11} & а^{12} \\ а^{21} & а^{22} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} x_1' & x_2 ' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & x_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a^{11} & a^{12} \\ a^{21} & a^{22} \end{bmatrix}$ И так, для

x_{j}^{'}

$x_j'$ , У меня будет:

{Икс}_{Дж}^{'} "=" а^{я Дж} {Икс}_{я}

$x_j' = a^{ij}x_i$ (Соглашение о суммировании здесь). Здесь я суммирую по первому индексу матрицы. Для контравариантного случая у меня есть:

{Икс}^{я}' "=" а^{я Дж} в^{Дж}

$x^i ‘= a^{ij}v^j$ Отсюда суммирование по второму индексу матрицы. Итак, я задумался о написании

a

$a$ как

a_{i}^{j}

$a_{i}^j$ , звоню тогда

i

$i$ как ковариантный индекс и

j

$j$ как контравариантный индекс. Есть ли в этом смысл? Первая проблема, которую я вижу, заключается в том, что это противоречит соглашению о суммировании, которое гласит, что индексы должны суммироваться, когда они находятся в разных позициях (например:

a^{i} v_{i}

$a^iv_i$ будет означать суммирование в

i

$i$ , но

a_{i} v_{i}

$a_ iv_i$ не будет).

Эта конструкция, которую я сделал, будет эквивалентна:

а "=" а_{я} б^{Дж} е_{я} \otimes е^{Дж}

$a = a_ib^j \mathbf{e}_i\otimes \mathbf{e}^j$

Мой другой вопрос заключается в том, возможно ли прибытие к следующему:

а "=" а^{я} б_{Дж} е^{я} \otimes е_{Дж}

$a = a^ib_j \mathbf{e}^i\otimes \mathbf{e}_j$

Используя матричную алгебру? Это возможно?

Я действительно смущен. Я видел, как тензоры 2-го порядка записываются как $a^i_j$ и в качестве $a_i^j$ . В чем разница между ними? Действуют ли они одинаково на векторах?

Триаттикус

Этот тип манипулирования тензором известен как исчисление Риччи en.wikipedia.org/wiki/Ricci_calculus.

Джанмаркз

там, в комментариях, я предлагаю math.stackexchange.com/q/1047994 в качестве наблюдения за тем, как это решается в математике, но теперь я поддерживаю Витора, ожидая, что кто-то может подробнее рассказать здесь с точки зрения приложений. Собираюсь проголосовать за храбрость, спрашивая сейчас в PhysSE.

СлучайныйПреобразование Фурье

возможный дубликат: индексы в шахматном порядке (

Λ^{μ}_{ν}

$\Lambda^\mu{}_\nu$ против.

Λ_{μ}^{ν}

$\Lambda_\mu{}^\nu$ ) о преобразованиях Лоренца . См. также Лоренц-инвариантность метрики Минковского .

встроенное_устройство

@AccidentalFourierTransform Я не верю, что это дубликат для 1) я не говорю конкретно о преобразованиях Лоренца 2) мне также интересно узнать, могу ли я назвать эти индексы ковариантными или контравариантными и расположить их в этом порядке. 3) Приведенный вопрос также не отвечает на вопрос, могу ли я прийти к обеим конструкциям, используя матричную алгебру. Если я не могу, то почему?

Кнчжоу

Я только что ответил на очень похожий вопрос здесь . Короче говоря, очень легко сделать ошибку, рассматривая тензоры как матрицы, и я не думаю, что это вообще стоит делать, но вы можете заставить это работать.

встроенное_устройство

@knzhou Хотя это действительно проясняет, я все же не думаю, что это отвечает на мой вопрос, просто служит некоторым разъяснением о матрицах и тензорах.

Ответы (1)

Разница в ковариантном/контравариантном порядке индексации в тензорах

Этот тип манипулирования тензором известен как исчисление Риччи en.wikipedia.org/wiki/Ricci_calculus.
там, в комментариях, я предлагаю math.stackexchange.com/q/1047994 в качестве наблюдения за тем, как это решается в математике, но теперь я поддерживаю Витора, ожидая, что кто-то может подробнее рассказать здесь с точки зрения приложений. Собираюсь проголосовать за храбрость, спрашивая сейчас в PhysSE.
возможный дубликат: индексы в шахматном порядке ( $\Lambda^\mu{}_\nu$ против. $\Lambda_\mu{}^\nu$ ) о преобразованиях Лоренца . См. также Лоренц-инвариантность метрики Минковского .
@AccidentalFourierTransform Я не верю, что это дубликат для 1) я не говорю конкретно о преобразованиях Лоренца 2) мне также интересно узнать, могу ли я назвать эти индексы ковариантными или контравариантными и расположить их в этом порядке. 3) Приведенный вопрос также не отвечает на вопрос, могу ли я прийти к обеим конструкциям, используя матричную алгебру. Если я не могу, то почему?
Я только что ответил на очень похожий вопрос здесь . Короче говоря, очень легко сделать ошибку, рассматривая тензоры как матрицы, и я не думаю, что это вообще стоит делать, но вы можете заставить это работать.
@knzhou Хотя это действительно проясняет, я все же не думаю, что это отвечает на мой вопрос, просто служит некоторым разъяснением о матрицах и тензорах.

Октай Догангюн · Answer 1

Прежде всего, я должен сказать, что матрицы не являются тензорами или наоборот. Матрицы — это просто массивы чисел, а тензоры — это инвариантные объекты, имеющие ковариантные или контравариантные компоненты с точностью до некоторого базиса.

Кстати, равенства, которые вы написали, неверны. Если у вас на одной стороне контравариантный тензор, то вам нужно иметь и другую сторону контравариантного тензора. Например, $x'_j = a^{ij} x_i$ должно быть $x'_j = a {}^i {}_j x_i$ или подобное.

Во-первых, я хотел бы прояснить некоторые аспекты ковариантных и контравариантных преобразований тензора, прежде чем я напишу ответ на вопрос о порядке индексов, который в итоге оказался бы тривиальным.

Тензоры и их компоненты

Тензоры не являются матрицами или массивами чисел. Тензоры — это объекты в векторном пространстве, которые в целом не меняются при преобразовании координат. Векторы — это один из примеров тензоров, вектор — это тот же вектор, даже если вы выражаете его в другой системе координат. Трансформируются только компоненты, поскольку меняются основы, но не все целиком.

Таким образом, выражение тензора в виде массива чисел подразумевает некоторые специфические свойства преобразования компонентов, зависящие от преобразования одного базиса в другой. Эти свойства состоят из ковариантных и контравариантных преобразований.

Предположим, мы работаем в системах координат, $dx^i$ и $\frac{\partial}{\partial x^i}$ . Итак, тензоры $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ можно записать в разных системах координат следующим образом:

\begin{aligned} (1.а) & А & "=" А_{я} г {Икс}^{я} \\ (1.б) & "=" А_{я}^{'} г {Икс}^{' я} \end{aligned}

$\begin{align} \tag{1.a} \mathbf{A} &=A_i \, dx^i \\ \tag{1.b} &= A'_i \, dx'^i \end{align}$ и

\begin{aligned} (2.а) & Б & "=" Б^{я} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{я}} \\ (2.б) & "=" Б^{' я} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{' я}} \end{aligned}

$\begin{align} \tag{2.a} \mathbf{B} &= B^i \frac{\partial}{\partial x^i} \\ \tag{2.b} &= B'^i \frac{\partial}{\partial x'^i} \end{align}$ где используется соглашение о суммировании. Я только что написал одни и те же тензоры в разных системах координат, со штрихом или без.

Таким образом, штрихованные компоненты можно записать через нештрихованные компоненты соответственно следующим образом:

$\begin{matrix} (ковариант) & А_{я}^{'} "=" А_{я} \frac{\partial {Икс}^{я}}{\partial {Икс}^{' я}} \end{matrix}$ $\tag{co-variant} A'_i = A_i \frac{\partial x^i}{\partial x'^i}$ $\begin{matrix} (контрвариант) & Б^{' я} "=" Б^{я} \frac{\partial {Икс}^{' я}}{\partial {Икс}^{я}} \end{matrix}$ $\tag{contra-variant} B'^i = B^i \frac{\partial x'^i}{\partial x^i}$

где нужно отслеживать простые числа в соответствии с цепным правилом при использовании равенства между (.a) и (.b) соответственно. Все, что подчиняется этим базисным преобразованиям компонентов, оставляющим объект неизменным, называется тензором .

Теперь можно выразить тензор и в любом базисе, даже в некоординатном, т.е. $\mathbf{e}^a = e {}^a_i dx^i$ и $\mathbf{e}_a = (e^{-1}) {}_a^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ где обратимая карта, $e {}^a_i (x)$ , называется тетрадным полем или вирбейном (в 4D). Таким образом, новые компоненты будут $A_a = A_i (e^{-1}) {}_a^i$ и $B^a = B^i e {}^a_i$ , соответственно.

Если вы рассмотрите правильную версию равенства, которое вы написали, $v'_j = a {}^{i} {}_j v_i$ , в этом контексте, который я объяснил выше, вы можете увидеть, как это становится действительным, если вы явно записываете преобразования координат.

Порядок индексов и метрический тензор

С другой стороны, связь между ковариантными и контравариантными компонентами обрабатывается с помощью карты, называемой метрикой :

А_{я} "=" г_{я Дж} А^{Дж}

$A_i = g_{ij} A^j$ и вы можете легко показать, что

g_{i j}

$g_{ij}$ также являются компонентами тензора, поскольку обе части этого тождества должны преобразовываться ковариантно.

Теперь возьмем тензор второго ранга, $T_{ij}$ . Порядок индексов важен, если тензор асимметричен, т. е. $T_{ij} \neq T_{ji}$ . Если поднять первый или второй показатель через метрику соответственно,

Т^{я}_{Дж} "=" г^{я к} Т_{к Дж} Т_{Дж}^{я} "=" г^{я к} Т_{Дж к}

$T {}^i {}_j = g^{ik} T_{kj} \\ T {}_j {}^i = g^{ik} T_{jk}$ становится очевидным, что они могут быть равны только тогда и только тогда, когда

T_{i j}

$T_{ij}$ симметрична по своим индексам.

Спасибо за Ваш ответ. 1: О том, что мои равенства неверны относительно индексов, я заявил, что исправлю их позже. Я не совсем понимаю ваш ответ. Не могли бы вы объяснить, почему выбрали $dx^i$ и $\frac{\partial}{\partial x^i}$ как основа? А не какие-то другие базисные векторы? Я также не понимаю, что вы подразумеваете под «основными» компонентами. Еще одно: в последнем абзаце (который, я думаю, должен ответить на вопрос в конце концов) мне кажется, что вы объяснили разницу между $T^i_j$ и $T_j^i$ . Извините, я не могу связать это с разницей между $T^i_j$ и $T_i^J$ .
Что касается награды, срок действия которой истек, я начну новую, так как в последнее время я не мог получить доступ к сайту.
Хорошо, спасибо за отзыв, я отредактирую ответ.

Разница в ковариантном/контравариантном порядке индексации в тензорах

встроенное_устройство

Триаттикус

Джанмаркз

СлучайныйПреобразование Фурье

встроенное_устройство

Кнчжоу

встроенное_устройство

Ответы (1)

Октай Догангюн

Тензоры и их компоненты

Порядок индексов и метрический тензор

встроенное_устройство

встроенное_устройство

Октай Догангюн

Глупо ли различать ковариантные и контравариантные векторы?

Вопрос об индексной записи и метрическом тензоре

В чем разница между TμνTμνT^\mu{}_\nu и TνμTνμT_\nu{}^\mu?

Что за обозначения индексов в общей теории относительности?

Почему не распространена инвариантная запись?

Соглашение Эйнштейна о суммировании: один как верхний, один как нижний?

Зачем нам нужна метрика для определения градиента?

Переупорядочивание терминов в нотации абстрактного индекса — общая теория относительности

Путаница в полярных координатах Эйнштейна

Манипуляции с нотацией тензорного индекса