Что заставляет силовое поле быть «неконсервативным»?

I) В этом ответе мы хотели бы ослабить общепринятое определение консервативной силы , включив, например, силу Лоренца .

II) Стандартное определение консервативной силы дается в Википедии (октябрь 2013 г.) примерно следующим образом:

Силовое поле${\bf F}={\bf F}({\bf r})$называется консервативной силой , если она удовлетворяет любому из этих трех эквивалентных условий:

1. Силу можно записать как отрицательный градиент потенциала$U=U({\bf r})$:

   $$\tag{1} {\bf F} ~=~ - {\bf \nabla} U.$$ Эквивалентно, условие (1) означает, что одноформенная$\phi:={\bf F}\cdot \mathrm{d}{\bf r}$точно:$\phi=-\mathrm{d}U$, где внешняя производная$\mathrm{d}:=\mathrm{d}{\bf r}\cdot{\bf \nabla}$.

2. Позиционное пространство односвязно, и ротор${\bf F}$равен нулю:

   $$\tag{2} {\bf \nabla} \times {\bf F} ~=~ {\bf 0}.$$ Эквивалентно, условие (2) означает, что одноформенная$\phi:={\bf F}\cdot \mathrm{d}{\bf r}$закрыто:$\mathrm{d}\phi=0$.

3. Нет чистой работы$W$сделано силой${\bf F}$при движении частицы по замкнутой кривой${\rm r}: S^1 \to \mathbb{R}^3$который начинается и заканчивается в одной и той же позиции:

   $$\tag{3} W ~\equiv~ \oint_{S^1} \!\mathrm{d}s~ {\bf F}({\bf r}(s)) \cdot {\bf r}^{\prime}(s) ~=~ 0.$$

Подчеркнем, что параметр$s$не обязательно фактическое время$t$. На самом деле время$t$вообще не входит в условия (1-3). Кривая в условии (3) может быть любой виртуальной петлей. В частности, кривая и ее параметризация$s$в принципе не должны отражать, как реальная точечная частица будет двигаться по траектории с определенной скоростью, определяемой некоторыми уравнениями движения, не говоря уже о движении вперед во времени.

III) Теперь вспомним, что потенциал, зависящий от скорости$U=U({\bf r},{\bf v},t)$силы${\bf F}$по определению удовлетворяет

$$\tag{4} {\bf F}~=~\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial U}{\partial {\bf v}} - \frac{\partial U}{\partial {\bf r}}, \qquad {\bf v}~=~\dot{\bf r},$$

ср. Ссылка 1. Затем определите потенциальную часть действия как

$$\tag{5} S_{\rm pot}[{\bf r}]~:=~\int_{t_i}^{t_f} \!\mathrm{d}t~U({\bf r}(t),\dot{\bf r}(t),t),$$

и обратите внимание, что ур. (4) можно переписать с помощью функциональной производной в виде

$$\tag{6} F_i(t)~=~-\frac{\delta S_{\rm pot}}{\delta x^i(t)}, \qquad i~\in~\{1,2,3\}.$$

Технически на этом этапе нам необходимо наложить соответствующие граничные условия (BC) (например, BC Дирихле) в начальный и конечный момент времени,$t_i$и$t_f$, соответственно, для существования функциональной производной (6). Эти БК отныне неявно предполагаются.

Мы отбрасываем возможность того, что кто-то хотел бы назвать силу с явной зависимостью от времени консервативной силой. Поэтому с этого момента опустим явную зависимость от времени. Тем не менее, см. этот пост Phys.SE.

IV) В свете того, что зависящие от скорости потенциалы (4) чрезвычайно полезны в лагранжевых формулировках, возникает соблазн обобщить понятие консервативной силы следующим нестандартным образом:

Силовое поле, зависящее от скорости${\bf F}={\bf F}({\bf r},{\bf v})$называется консервативной силой , если она удовлетворяет любому из этих трех эквивалентных условий:

1. Силу можно записать как отрицательный функциональный градиент потенциального действия.$S_{\rm pot}[{\bf r}]=\int_{t_i}^{t_f} \!\mathrm{d}t~U({\bf r}(t),\dot{\bf r}(t))$:

   $$\tag{1'} {\bf F} ~=~ -\frac{\delta S_{\rm pot}}{\delta {\bf r}} ~\equiv~\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial U}{\partial {\bf v}} - \frac{\partial U}{\partial {\bf r}} .$$ Эквивалентно, условие (1') означает, что одноформенная$\Phi:=\int_{t_i}^{t_f}\!\mathrm{d}t~ F_i(t)\mathrm{d}x^i(t)$точно в пространстве путей:$\Phi=-\mathrm{d}S_{\rm pot}$, где внешняя производная$\mathrm{d}:=\int_{t_i}^{t_f}\!\mathrm{d}t~ \mathrm{d}x^i(t)\frac{\delta}{\delta x^i(t)}$.

2. Позиционное пространство односвязно, а сила${\bf F}$удовлетворяет условию замкнутости относительно. к функциональным производным

   $$\tag{2'} \frac{\delta F_i(t)}{\delta x^j(t^{\prime})} ~=~[(i,t) \longleftrightarrow (j,t^{\prime})].$$ Эквивалентно, условие (2') означает, что одноформенная$\Phi:=\int_{t_i}^{t_f}\!\mathrm{d}t~ F_i(t)\mathrm{d}x^i(t)$замкнут в пространстве путей:$\mathrm{d}\Phi=0$. Эквивалентные условия Гельмгольца [2] относительно. Частные и полные производные читать $$\frac{\partial F_i}{\partial x^j} -\frac{1}{2}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial F_i}{\partial v^j} ~=~[i \longleftrightarrow j], \qquad \frac{\partial F_i}{\partial v^j}~=~-[i \longleftrightarrow j].$$

3. Следующий интеграл (3') по двухцикловому${\rm r}: S^2 \to \mathbb{R}^3$исчезает всегда:

   $$\tag{3'} \oint_{S^2}\!\mathrm{d}t \wedge \mathrm{d}s~ {\bf F}({\bf r}(t,s),\dot{\bf r}(t,s)) \cdot {\bf r}^{\prime}(t,s) ~=~ 0.$$

Здесь точка и штрих означают дифференцирование относительно.$t$и$s$, соответственно.

При таком определении (1'-3') консервативной силы, например, сила Лоренца и сила Кориолиса становятся консервативными силами, а сила трения${\bf F}=-k {\bf v}$останется неконсервативной силой, ср. этим и этим отвечает Phys.SE.

Следует сказать, что существуют прямые обобщения условий (1'-3'):

1. Во-первых, можно допустить силу${\bf F}={\bf F}({\bf r}, {\bf v}, {\bf a}, {\bf j},\ldots)$зависеть от разгона, рывка и т.д.

2. Во-вторых, можно обобщить до обобщенных положений $q^i$, обобщенные скорости$\dot{q}^i$, и обобщенные силы$Q_i$, так далее.

Наконец, отметим, что эта конструкция (1'—3') по духу родственна обратной задаче для лагранжевой механики .

Использованная литература:

1. Г. Гольдштейн, Классическая механика, Глава 1.

2. H. Helmholtz, Ueber die physikalische Bedeutung des Prinzips der kleinsten Wirkung, J. für die reine u. Ангеванте Математика. 100 (1887) 137.

Силовое поле$F_i(x)$является консервативным, если для каждой кривой$C$с точки$y_1$до точки$y_2$, у нас есть$\int\limits_C F_i(x)\mathrm{d}x^i$, так что разница энергий между$y_1$и$y_2$не зависит от кривой, взятой от одной к другой. Эквивалентно, интеграл вокруг замкнутой кривой должен быть равен нулю,$\oint\limits_C F_i(x)\mathrm{d}x^i=0$для каждой замкнутой кривой$C$. В качестве альтернативы мы требуем$\nabla\times F=0$, так что мы можем написать$F=\nabla V$; то есть ротор силового поля равен нулю, так что силовое поле можно выразить как дивергенцию. Возможны обобщения этого элементарного счета на более высокие измерения в терминах дифференциальных форм.

Хотя комментарий Шухао Цао о том, что макроскопическая или микроскопическая физическая теория определяет, является ли теория консервативной, очень часто бывает правильным, тем не менее феноменологические микроскопические теории могут счесть удобным включить неконсервативные силовые поля. Например, влияние внешнего магнитного поля на микроскопическую модель может быть неконсервативным. (см. ниже комментарий Рона, в котором указывается, что изменение наложенного извне магнитного поля с течением времени может быть использовано в качестве примера неконсервативного поля в 4D. Подразумеваемое ограничение на 3D, установленное моим первым абзацем, должно быть удалено. .)