Почему работа неконсервативной силы не может быть равна нулю?

Question

Почему работа неконсервативной силы не может быть равна нулю?

Свами

Почему работа неконсервативной силы не может быть равна нулю? Смещение по замкнутому пути всегда равно нулю. Таким образом, какой бы ни была сила, переменная или постоянная, работа должна быть равна нулю. Зачем нужно вычислять работу, проделанную для отдельных путей? введите описание изображения здесь

Это неконсервативная сила, которая начинается с $A$ перемещается по Пути 1 в $B$ а потом обратно в $A$ через Путь 2. Поскольку смещение в любом случае будет равно нулю, почему проделанная работа не может быть равна нулю?

dmckee --- котенок экс-модератор

Проделанная работа может быть нулевой в частных случаях, но определение «неконсервативность» таково, что она не равна нулю вообще . Таким образом, вы должны вычислять его каждый раз, а не полагаться на удобное правило, как вы можете делать это для консервативных сил. То есть реальные физические силы классифицируются как «неконсервативные», потому что нет удобного правила, зависящего только от конечных точек пути.

Свами

Не нарушает ли это определение самой работы? Не означает ли это, что W = Fd справедливо только для консервативных сил, потому что для случаев неконсервативных сил перемещение, по-видимому, имеет наименьшее значение при вычислении проделанной работы?

dmckee --- котенок экс-модератор

The

d

$d$ это не перемещение, это пройденное расстояние. В бесконечно малой форме они одинаковы, но не в конечной форме. Многие книги выбирают другой символ (часто

s

$s$ ), чтобы подчеркнуть это.

W = \int_{s} \vec{F} \cdot d \vec{s}

$W = \int_s \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{s}$ или похожие.

Ответы (5)

Почему работа неконсервативной силы не может быть равна нулю?

Проделанная работа может быть нулевой в частных случаях, но определение «неконсервативность» таково, что она не равна нулю вообще . Таким образом, вы должны вычислять его каждый раз, а не полагаться на удобное правило, как вы можете делать это для консервативных сил. То есть реальные физические силы классифицируются как «неконсервативные», потому что нет удобного правила, зависящего только от конечных точек пути.
Не нарушает ли это определение самой работы? Не означает ли это, что W = Fd справедливо только для консервативных сил, потому что для случаев неконсервативных сил перемещение, по-видимому, имеет наименьшее значение при вычислении проделанной работы?
The $d$ это не перемещение, это пройденное расстояние. В бесконечно малой форме они одинаковы, но не в конечной форме. Многие книги выбирают другой символ (часто $s$ ), чтобы подчеркнуть это. $W = \int_s \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{s}$ или похожие.

любопытный разум · Answer 1

Для сил, которые меняются по пути, смещение — это не то, с чем нужно рассчитывать работу. Позволять $\gamma : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^3$ быть (замкнутым или открытым) путем, по которому следует частица, на которую действует сила. Тогда работа, совершенная на этом пути, равна

Вт [γ, Ф] "=" \oint_{γ} \vec{Ф} (\vec{Икс}) \cdot д \vec{Икс}

$W[\gamma,F] = \oint_\gamma \vec{F}(\vec{x})\cdot \mathrm{d}\vec{x}$

который является линейным интегралом. Если $\vec{F}$ консервативен, есть функция $V(\vec{x})$ такой, что $\nabla V(\vec{x}) = \vec{F}(\vec{x})$ , то мы можем применить теорему Стокса (или, проще говоря, основную теорему исчисления) для вычисления работы по формуле

\oint_{γ} \vec{Ф} (\vec{Икс}) \cdot д \vec{Икс} "=" \int_{\partial γ} В (\vec{Икс}) "=" В (γ (1)) - В (γ (0))

$\oint_\gamma \vec{F}(\vec{x})\cdot \mathrm{d}\vec{x} = \int_{\partial\gamma} V(\vec{x}) = V(\gamma(1)) - V(\gamma(0))$

Для закрытых путей, $\gamma(1) = \gamma(0)$ , так что это ноль. Если нет потенциала с $\nabla V = \vec{F}$ , мы не можем применить этот аргумент и должны фактически вычислить линейный интеграл, который может быть любым, особенно ненулевым.

Сила пружины является переменной силой, но является консервативной. Я пытаюсь понять, что нас вдохновляет на расчет проделанной работы с помощью интеграции? Является ли сила переменной или неконсервативной?
@Swami: Первая формула - это определение работы всех сил . Для постоянных сил $\vec{F}\cdot\vec{x}$ (со смещением $\vec{x}$ ) — это способ вычисления работы, а для постоянных сил интеграл — именно такой. Но для сил, которые меняются по пути, нам нужно сделать интеграл — он представляет собой приложение $\vec{F}\cdot\vec{x}$ для каждой бесконечно малой части пути, а затем суммируя по всем этим бесконечно малым частям, отсюда и предполагаемое обозначение $\vec{F}(\vec{x})\cdot\mathrm{d}\vec{x}$ .
@ACuriousMind Итак, почему мы определяем силу как консервативную, если ее интеграл по замкнутой ванне равен нулю? Возможно, неконсервативная сила также имеет нулевой интеграл вокруг замкнутого пути. Так что кажется, что это слабое определение в отличие от определения, что замкнутый интеграл по кривой зависит только от конечных точек.

оставленный вокруг · Answer 2

Что ж, мы можем привести простой контрпример. Позволять

\vec{Ф} (\vec{Икс}) "=" Ф_{0} \cdot ϱ (\vec{Икс})

$\vec{F}(\vec{x}) = F_0 \cdot \varrho(\vec x)$ где

ϱ

$\varrho$ это функция, которая поворачивает векторы на 90° против часовой стрелки (в матричной форме

(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$(\begin{smallmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{smallmatrix})$ если вы предпочитаете это). Ясно, что для замкнутого пути

\vec{γ} : [0, 2 π] \to р^{2}, т \mapsto (\begin{matrix} потому что (т) \\ грех (т) \end{matrix})

$\vec{\gamma}\colon\quad [0, 2\pi]\ \to\ \mathbb{R}^2 , \qquad t\ \mapsto \begin{pmatrix}\cos(t) \\ \sin(t)\end{pmatrix}$ у нас всегда

\dot{\vec{γ}} \cdot \vec{F} (\vec{γ}) = F_{0}

$\dot{\vec\gamma} \cdot \vec{F}(\vec\gamma) = F_0$ . Так

\oint_{γ} д \vec{Икс} \cdot \vec{Ф} (\vec{Икс}) "=" 2 π \cdot Ф_{0} .

$\oint_\gamma \mathrm{d}{\vec x}\cdot \vec{F}(\vec{x}) = 2\pi\cdot F_0.$ Это в основном ответ на ваш вопрос, хотя вы сформулировали его неправильно:

Почему работа не может быть нулевой?

На самом деле он может быть равен нулю. Учитывать

{\vec{γ}}_{2} : [0, 2 π] \to р^{2}, т \mapsto {\begin{cases} \vec{γ} (т) & если т < π \\ \vec{γ} (2 π - т) & в противном случае \end{cases}

$\vec{\gamma}_2\colon\quad [0, 2\pi]\ \to\ \mathbb{R}^2 ,\qquad t \mapsto \begin{cases}\vec\gamma(t) & \text{if $t<\pi$} \\ \vec\gamma(2\pi - t) & \text{otherwise}\end{cases}$ Это просто занимает половину пути

γ

$\gamma$ , но затем разворачивается и возвращается тем же путем, которым пришел, тем самым интегрируя противоположное скалярное произведение силы, поэтому результат получается как

0

$0$ здесь хотя сила, как я доказал выше, не является консервативной. Только в неконсервативном поле не все замкнутые пути имеют нулевую общую работу. (Более очевидно: в любом поле замкнутый «путь», который просто всегда остается в одной и той же точке, не имеет работы.)

Робин Экман · Answer 3

Хотя полное перемещение, как показано на вашем рисунке, равно нулю, это не означает, что работа равна нулю! Работа есть скалярное перемещение силы, $W = \vec F\cdot \vec s$ . Дайвинг пути $A \to B \to A$ в бесконечно малые шаги мы ведем к

д Вт "=" \vec{Ф} \cdot д \vec{с}

$dW = \vec F \cdot d\vec s$ а для общей работы, суммируя вклад

Вт "=" \int \vec{Ф} \cdot д \vec{с} .

$W = \int \vec F\cdot d\vec s.$ Я думаю, что отсюда вы хотите распределить интеграл по произведению,

Вт \overset{?}{"="} \int Ф \cdot \int д \vec{с}

$W \overset{?}{=} \int F \cdot \int d\vec s$ а так как полное водоизмещение

0

$0$ , произведение должно исчезнуть. Но это равенство в общем случае не выполняется, поэтому вы не можете заключить, что полная проделанная работа исчезает только потому, что исчезает полное перемещение.

Конечно, как отмечалось в других ответах, может случиться так, что общая работа по-прежнему равна нулю, просто для неконсервативной силы нам не гарантируется, что это так.

Ваше выражение предполагает, что F должна быть переменной. Означает ли это, что всякая неконсервативная сила должна быть только переменной силой?
Зачем мне делить путь, чтобы вычислить проделанную работу? Почему я не могу просто вычислить скалярное произведение силы (постоянной силы, скажем, силы трения, которая не является консервативной) и смещения (которое для цикла равно нулю)?
Мое выражение позволяет $\vec F$ варьироваться, но не требует этого. Для петли трение не может быть постоянным: оно всегда в направлении, противоположном движению, поэтому оно должно меняться в направлении, иначе мы не сможем вернуться к тому, с чего начали.

Наташа Наин · Answer 4

К неконсервативным силам относятся те силы, работа которых зависит от пути, по которому движется частица. Таким образом, вокруг замкнутого пути это значение будет положительным, потому что частица прошла некоторый путь при движении по замкнутому пути. Но в случае консервативных сил работа зависит только от начальной и конечной точек, а не от пути. Таким образом, вокруг замкнутого пути начальная и конечная точки совпадают, поэтому проделанная работа равна нулю.

Раманан · Answer 5

Будьте практичны. Если мяч зависит от траектории, как воздушные силы или любая другая сила, то работа, которую мы даем, является потерей в какой-то точке, но когда он возвращается, работа, выполненная воздушными силами, передается мячу. Таким образом, выполненная работа не равна нулю ни в какой другой точке. неконсервативная сила

Я так понимаю, "воздушные силы" - это ветровое сопротивление в данном случае?

Почему работа неконсервативной силы не может быть равна нулю?

Свами

dmckee --- котенок экс-модератор

Свами

dmckee --- котенок экс-модератор

Ответы (5)

любопытный разум

Свами

любопытный разум

Антониос Сарикас

оставленный вокруг

Робин Экман

Свами

Свами

Робин Экман

Наташа Наин

Раманан

Кайл Канос

Связь между потенциальной энергией и консервативной силой

Верно ли это в отношении потенциальной энергии?

Что заставляет силовое поле быть «неконсервативным»?

Проблема консервативных и неконсервативных сил

Что именно делает силу консервативной?

Чистая сила в системе не равна нулю, но GPE увеличивается, а кинетическая энергия не меняется

Какие силы необходимы для физического разделения двух тел в гравитационной системе?

Почему чистая работа туриста, несущего 15-килограммовый рюкзак на высоту 10 метров, равна 0 Дж (Джанколи)?

По какой причине разность потенциальной энергии ΔU=-W ΔU=-W\Delta U=-W равна противоположной выполненной работе?

Трение также является консервативной силой?