CP Нарушение матрицы CKM

Текст Lumo, возможно, немного запутал, но все наоборот: возможность переопределить фазы векторов приводит к уменьшению независимых углов и фаз в матрице CKM, но есть еще одна сложная фаза, которую нельзя быть отвернуты.

Представьте, что вы меняете фазы кетов$u,c,t;d,s,b$шестью мультипликативными коэффициентами, экспоненты$i$умножить на первые шесть букв греческого алфавита, например

$$|u\rangle \to |u\rangle e^{-i\alpha}$$ и аналогично для остальных пяти штатов. Это эквивалентно следующему переопределению $V=V_{CKM}$: $$V \to \pmatrix { e^{i\alpha}&0&0\\ 0&e^{i\beta}&0\\ 0&0&e^{i\gamma} } V \pmatrix { e^{-i\delta}&0&0\\ 0&e^{-i\epsilon}&0\\ 0&0&e^{-i\zeta} }$$ Однако обратите внимание, что если вы замените все эти шесть греческих букв одной и той же константой $$(\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon,\zeta) \to (\alpha+\omega,\beta+\omega,\gamma+\omega,\delta+\omega,\epsilon+\omega,\zeta+\omega)$$ произведение трех матриц в правой части выше будет просто $V$и $V$не изменится. Таким образом, без потери общности вы можете установить $\zeta=0$и есть только 5 независимых фаз кет-векторов, которые можно использовать для переопределения $V$.

Сейчас,$V$априори является общим$U(3)$матрица, потому что это матрица перехода между двумя ортонормированными основаниями одного и того же трехмерного комплексного пространства. Такая матрица может быть описана девятью вещественными параметрами. Почему? Это может быть написано как$V=\exp(iH)$где$H$является общей эрмитовой матрицей. А общая эрмитова матрица имеет 9 независимых действительных параметров; буквально 1/2 из 18 параметров в комплексе$3\times 3$матрица. (Это верхний треугольник над главной диагональю: полностью входящие в него квадраты независимы и сложны; элементы на диагонали должны быть действительными, поэтому только один действительный параметр, а квадраты под диагональю задаются квадратами над диагонали из-за условия Эрмитовости.)

Так что пространство априори возможно$U(3)$матрицы$V$является 9-мерным. Однако переопределение фазы приводит к отождествлениям в этом 9-мерном пространстве таким образом, что каждый элемент отождествляется с 5-мерным пространством физически эквивалентных значений матрицы$V$. Теперь вычтите

$$9 - 5 = 4$$ и вы видите, что пространство физически неэквивалентных матриц $V$или пространство «классов эквивалентности» 4-мерно. Если бы мы получили 3, это, вероятно, означало бы, что матрицу можно сделать вещественной, элементом $SO(3)$, трехмерное вращение, которое зависит от 3 углов. Однако мы получили 4 параметра, а это значит, что мы не можем привести общий $U(3)$матрица $V$в реальную форму путем переопределения фаз шести кет-векторов.

Это означает, что самая общая матрица$V$все еще должно быть разрешено быть сложной матрицей, и нет никакого способа сделать записи реальными без изменения физики. Теперь существуют различные способы параметризации самой общей матрицы.$V$. Одна из записей может быть сделана$r\exp(i\delta_{CP})$где экспонента — фаза, нарушающая СР.

Если вы повторите то же упражнение с двумя поколениями, а не только с четырьмя, вы обнаружите, что переопределения четырех (или трех) фаз кет-векторов для кварков достаточно, чтобы получить общее представление.$U(2)$матрицу в вещественный вид, т.е. в элемент$SO(2)$, и не было бы CP-нарушения. Это потому что$U(2)$матрица имеет$4$реальные параметры, и 3 из них могут быть переопределены фазами, поэтому разница составляет всего один угол в 1$SO(2)$. Таким образом, три поколения — это минимальное количество, допускающее CP-нарушение.

Просто чтобы быть уверенным, комплекс$V$вызывает CP-нарушение, потому что комплекс CP-симметрии сопряжен с полями в лагранжиане или, что то же самое, с параметрами в массовых матрицах. Так что если вычислить некую типовую "меру СР-нарушения", то она будет зависеть от угла$\delta_{CP}$выше.