Инвариант Ярского и его математическое происхождение

Сесилия Ярлског предложила этот инвариант еще в 1973 году, и он упоминался в исходной статье Кобаяши-Маскава.

Для трех семейств легко понять, почему оно отлично от нуля тогда и только тогда, когда унитарная матрица в$U(3)$нельзя привести к реальному, ортогональному т.е.$O(3)$форма. Это потому, что после пяти фазовых переопределений собственных состояний верхнего и нижнего кварков каждый$SU(3)$матрицу можно привести к виду$SO(3)$матрица, выраженная тремя действительными углами$\theta_{ij}$и одна сверхсложная фаза$\delta$, ну я имею в виду$\exp(i\delta)$, добавляемый к матричному элементу.

В этой параметризации$SU(3)$матрица, инвариант просто

Видеть

http://physics.brown.edu/physics/undergradpages/theses/2010Theses/GoldfarbThesis_Final.pdf

особенно страницы 7, 8, 11, 12 для некоторых деталей и формул. В частности, первая «стандартная» формула на странице 7 дает понять, что$SU(3)$матрица реальна — или может быть сделана реальной — всякий раз, когда один из факторов в$J$исчезает.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Добавленные вопросы не имеют ничего общего с исходным, но на них тоже можно ответить. Не существует «конструктивного способа» вывести инвариант Ярлскога. Это была умная догадка, предложенная конвенция. Величина, которая равна нулю всякий раз, когда она должна быть равна нулю, явно не определена однозначно.

Также неверно ожидать канонического обобщения на большие унитарные матрицы. Более того, более крупные матрицы на самом деле имеют несколько независимых источников CP-нарушения, в том же смысле, что и матрица 2 x 2 для 2 семейств не имеет ни одного. Поэтому было бы более естественно иметь несколько инвариантов для матриц большего размера и говорить, что CP сохраняется, если все они равны нулю. Но опять же, эти инварианты ни в каком смысле не будут уникальными.

Что касается третьего вопроса, независимости от баз, то это тривиально. Матрица CKM$V$- матрица перехода, отображающая три конкретных собственных состояния массы в$SU(2)$партнерами трех других частных собственных состояний. Все эти шесть собственных состояний определяются однозначно с точностью до фазы (при условии, что они нормализованы).

Но это легко увидеть$J$инвариантен относительно этих шести смен фаз. Например, изменить фазу$b$собственный вектор$\exp(i\beta)$. Эта фаза отменяется через$J$потому что$J$зависит от этой фазы только через$V_{cb}$и$V_{ub}^*$факторов: в обоих случаях$b$— второй индекс, поэтому зависимость от$\beta$то же самое, но второй матричный элемент комплексно сопряжен, поэтому фаза сокращается. Аналогичным образом можно проверить отмену пяти других возможных фаз, что доказывает независимость по основанию.