Дельта Дирака, шаг Хевисайда и объемная плотность заряда

Контекст

На этом веб-сайте есть много вопросов, связанных с рассматриваемым вопросом. Ни один из них не соответствует моим требованиям. Читая [1], я наткнулся на следующее:

«Кольцо заряда радиусом$a$и общий заряд$Q$... Плотность заряда кольца можно записать с помощью дельта-функции по углу и радиусу как

$$\rho(\mathbf{x}') = \frac{Q}{2\,\pi\,a^2}\,\delta(r'-a)\,\delta(\cos\theta').\text{''}$$

Графически показано, что кольцо заряда расположено вокруг начала координат и горизонтально. Поэтому,$\theta' = \frac{\pi}{2}$вокруг всего кольца.

Я собираюсь сначала переписать Джексона$\rho$в форме, с которой я более знаком, а затем я собираюсь интегрировать плотность, чтобы посмотреть, смогу ли я восстановить полный заряд кольца.$Q$. Из [2] я знаю, что$\delta(cos\theta'- cos\theta)= \frac{\delta(\theta'-\theta)}{\sin\theta}$. В свете этого я могу переписать заряд плотности Джексона как

$$\rho(\mathbf{x}') = \frac{Q}{2\,\pi\,a^2}\,\delta(r'-a)\,\frac{\delta\left(\theta' -\frac{\pi}{2}\right)}{\sin{\frac{\pi}{2}}}.\tag{1}$$

Так,

$$\begin{align*} & \iiint_{\mathbb{R}^3}\rho(r',\theta',\phi') \,d\tau' \\ &\,\,= \int_0^{\pi} \int_0^{2\,\pi}\int_{0}^\infty \frac{Q}{2\,\pi\,a^2} \,\delta\left( r' - a\right) \, \delta\left( \theta' - \frac{\pi}{2} \right) \, \frac{ \left[ u\left( \phi' - 0 \right)- u\left( \phi' - 2\,\pi \right)\right] }{ \sin\frac{\pi}{2} } \,{r'}^2\,\sin\theta'\,dr'\,d\theta'\,d\phi' \\\\ &\,\,= \frac{Q}{2\,\pi\,a^2 } \int_0^{\pi} \int_0^{2\,\pi}\int_{0}^\infty \delta\left( r - a\right) \, \delta\left( \theta - \frac{\pi}{2} \right) \, \left[ u\left( \phi - 0 \right)- u\left( \phi - 2\,\pi \right)\right] \,{r'}^2\,\sin\theta'\, dr'\,d\theta'\,d\phi' \\\\ &\,\,= \frac{Q}{2\,\pi\,a^2} \int_{\frac{\pi}{2}-\epsilon}^{\frac{\pi}{2}+\epsilon} \int_{0}^{2\,\pi }\int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon} \delta\left( r' - a\right)\, \delta\left( \theta' - \frac{\pi}{2} \right) \,\sin\theta'\,{r'}^2 dr'\,d\theta'\,d\phi' \\\\ &\,\,= \frac{Q}{2\,\pi\,a^2} \, 2\,\pi\,a^2 \\\\ &\,\,= Q \end{align*}$$ Да, я восстанавливаю полный заряд кольца$Q$. Однако есть проблема с обозначениями. Рассмотрим следующее.

Альтернативный метод

В [2] при определении плотности в сферических координатах Боас использует переменную$r$в знаменателе. Это в отличие от параметра, который дает конкретный радиус, например$a$. Давайте воспользуемся этим альтернативным подходом и посмотрим, восстановим ли мы общий заряд кольца.$Q$.

Предположим, что имеется заряженное кольцо с полным зарядом$Q$. Кольцо существует в каждой точке$(r,\theta,\phi)$в наборе

$$\left\{ (r,\theta,\phi)\in [0,\infty)\times[0, \pi] \times [0,2\,\pi)\, \Bigr| \, r=a, \theta = \frac{\pi}{2} , 0 \leq \phi \leq 2\,\pi \right\}.$$ С точки зрения дельта-распределения Дирака,$\delta$, и ступенчатая функция Хевисайда,$u$, плотность заряда $$\begin{align*} \rho(r,\theta,\phi) &= Q \, \delta\left( r - a\right) \, \frac{\delta\left( \theta - \frac{\pi}{2} \right)}{r} \, \frac{ \left[ u\left( \phi - 0 \right)- u\left( \phi - 2\,\pi \right)\right] }{ 2\,\pi\,r\,\sin\theta }\tag{2} \end{align*}$$ Таким образом, $$\begin{align*} & \iiint_{\mathbb{R}^3}\rho(r,\theta,\phi) \,d\tau \\ &\,\,= \int_0^{\pi} \int_0^{2\,\pi}\int_{0}^\infty Q \,\delta\left( r - a\right) \, \frac{\delta\left( \theta - \frac{\pi}{2} \right)}{r} \, \frac{ \left[ u\left( \phi - 0 \right)- u\left( \phi - 2\,\pi \right)\right] }{ 2\,\pi\,r\,\sin\theta } \,r^2\,\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi \\\\ &\,\,= \frac{Q}{2\,\pi } \int_0^{\pi} \int_0^{2\,\pi}\int_{0}^\infty \delta\left( r - a\right) \, \delta\left( \theta - \frac{\pi}{2} \right) \, \left[ u\left( \phi - 0 \right)- u\left( \phi - 2\,\pi \right)\right] dr\,d\theta\,d\phi \\\\ &\,\,= \frac{Q}{2\,\pi} \int_{\frac{\pi}{2}-\epsilon}^{\frac{\pi}{2}+\epsilon} \int_{0}^{2\,\pi }\int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon} \delta\left( r - a\right)\, \delta\left( \theta - \frac{\pi}{2} \right) \, dr\,d\theta\,d\phi \\\\ &\,\,= \frac{Q}{2\,\pi}\, {2\,\pi} \\\\ &\,\,= Q \end{align*}$$ Я снова восстанавливаю полный заряд кольца,$Q$. Однако мне кажется, что обе манеры описывать$\rho$оба не могут быть правы. Возможно, они оба дают один и тот же результат в этой задаче, но это не означает, что они оба верны.

Вопросы

Какое выражение для плотности заряда является правильным, выражение, данное уравнением 1, или выражение, данное уравнением 2? Почему?

Библиография

[1] Джексон, Классическая электродинамика, 3-е издание, с. 123.

[2] Боас, Математические методы в физических науках, 3-е издание, с. 457, 460.