Сферические заряженные снаряды с заземлением

Question

Сферические заряженные снаряды с заземлением

Этьен Безу

Рассмотрим две концентрические сферические оболочки радиусов $a$ и $2a$ соответственно. Пусть внутренняя оболочка имеет потенциал $V_0$ и внешняя оболочка должна быть заземлена. Каков потенциал $V(r)$ как функция расстояния до центра снарядов, а заряды какие на снарядах?

Вот как бы я подошел к проблеме. Позволять $Q_i$ и $Q_o$ - заряд на внутренней и внешней оболочках соответственно. Помещать

В (р) "=" - \int_{2 а}^{р} \vec{Е} (р^{'}) \cdot г {\hat{р}}^{'} .

$V(r) = -\int_{2a}^{r} \vec{E}(r') \cdot d\hat{r}'.$

С $E(r) = 0$ для $r < a$ ,

$E(r) = Q_i/(4\pi\epsilon_0r^2)$ для $a < r <2a$

$E(r) = (Q_i+Q_o)/(4\pi\epsilon_0r^2)$ , это дает нам

$V(r) = Q_i/(8\pi\epsilon_0a)$ для $r < a$ , $V(r) = Q_i(2a/r-1)/(8\pi\epsilon_0a)$ для $a < r < 2a$

$V(r) = (Q_i+Q_o)(2a/r-1)/(8\pi\epsilon_0a)$ для $2a < r.$

Теперь требуя, чтобы $V(a)=V_0$ , мы получаем $Q_i = 8\pi\epsilon_0aV_0$ . Но что насчет $Q_o?$ Из вида потенциала сразу получаем $V(2a) = 0$ , независимо от значения $Q_o$ .

В ответе на задачу указано, что $Q_o = -Q_i$ . Также прямо говорится, что $V(r) = 0$ для $r > 2a$ , но, честно говоря, я не понимаю, почему это следует из предположения, что внешняя оболочка заземлена.

Все ли основано на неявном предположении, что $V(\infty) = 0$ , что делает мое определение $V(r)$ неправильный? Конечно, мы не обязаны делать это предположение?

Ответы (2)

Сферические заряженные снаряды с заземлением

Фарчер · Answer 1

Когда внешняя оболочка заземлена, как только вы зарядите $+Q_i$ на внешней стороне внутренней оболочки, то заряд $-Q_i$ будет индуцироваться на внутренней стороне внешней оболочки.
Думайте об этом как об отсутствии электрического поля внутри проводника, поэтому каждая линия электрического поля, начинающаяся с заряда на внешней поверхности внутренней сферы, должна заканчиваться на противоположном заряде на внутренней поверхности внешней сферы.

Таким образом, существует только электрическое поле между внутренней и внешней оболочкой, и поэтому это единственная область, где изменяется электрический потенциал.

Если земля считается нулевым потенциалом, что часто бывает, то внешняя оболочка также должна иметь нулевой потенциал, если она соединена с землей.

Если вы думаете о законе Гаусса и рассматриваете сферическую гауссову поверхность с центром в центре сферических оболочек, то если $a \le r \le 2a$ заряд, заключенный на поверхности, равен $+Q_i$ .
Как только у вас есть $r>2a$ вложенный заряд равен нулю, $+Q_i- Q_i =0$ и поэтому электрическое поле вне внешней сферы равно нулю.

$r>2a$ затем $E=0$ и $V=0$

$a \le r \le 2a$ затем $E = \dfrac {1}{4 \pi \epsilon_o} \dfrac {Q_i}{r^2}$ и $V = \dfrac {1}{4 \pi \epsilon_o} \dfrac {Q_i}{r}$

$r< a$ затем $E=0$ и $V = \dfrac {1}{4 \pi \epsilon_o} \dfrac {Q_i}{a}$

Спасибо! А что, если немного изменить формулировку задачи. Вместо того, чтобы говорить, что внешняя оболочка заземлена, мы говорим, что ее потенциал равен нулю. Кроме того, нам не нужно предполагать, что оболочки представляют собой металлические листы. Скажем так, у нас есть два распределения заряда, локализованных на двух сферических оболочках?
Если внешняя оболочка не заземлена, то будет заряд $-Q_i$ на внутренней поверхности внешней оболочки и зарядом $+Q_i$ на внешней поверхности внешней оболочки.
То есть внешняя оболочка не имела бы чистого заряда? Тогда бы у нас не было $V(2a) = 0$ ?
По отношению к земле (нулю потенциала) внешняя сфера будет иметь ненулевой потенциал, потому что нужно будет совершить работу по перемещению заряда от земли к внешней сфере.
Извините за мой поздний ответ. Я не совсем понимаю, что вы имеете в виду. Наверняка можно было бы иметь сферическую оболочку с зарядом $Q_i$ окружен незаземленной сферической оболочкой с зарядом $-Q_i$ . Тогда потенциал на внешней оболочке и вне ее будет равен нулю. Правильный? В чем тогда разница между утверждением, что оболочка заземлена, и утверждением, что ее потенциал равен нулю?
Вы можете выбрать ноль потенциала где угодно.
Я имел в виду, что если у нас есть снаряд с зарядом $Q_i$ окружен оболочкой с зарядом $-Q_i$ , то даже мы выбираем $V(\infty) = 0$ , потенциал на внешней оболочке будет равен нулю, даже если она не заземлена. Правильный? Я пытаюсь понять, что делает заземление.
Заземление выполняет задание, потенциал которого не изменяется. Любое дополнительное добавление или уменьшение заряда изолированной внешней оболочки изменит ее потенциал. Этого бы не произошло, если бы внешняя оболочка была заземлена.
Прости, что я такой упрямый. Но в этой конкретной задаче мы получили бы одинаковый потенциал и одинаковые заряды на оболочках, говорим ли мы, что внешняя оболочка заземлена, или что ее потенциал просто равен нулю. Правильный?
Если внешний мир не видит зарядов на внешней поверхности внешней оболочки, то никакой работы не требуется. Я перемещаю заряд к внешней оболочке, поэтому место, где начинается заряд, будет иметь тот же потенциал, что и внешняя оболочка.

свободный · Answer 2

Ваше определение поля для $r>2a$ верно. Но для $Q_i=-Q_0$ поле равно нулю. Заряд, индуцируемый на внутренней поверхности заземленной внешней сферы, по закону Гаусса должен быть $-Q_i=Q_0$ (поля в металле нет). Кроме того, из-за того, что внешняя сфера находится под потенциалом земли, не может быть поля вне сферы (нет индуцированных внешних поверхностных зарядов), потому что нет разности потенциалов с окружающей средой.

Спасибо! А что, если немного изменить формулировку задачи. Вместо того, чтобы говорить, что внешняя оболочка заземлена, мы говорим, что ее потенциал равен нулю. Кроме того, нам не нужно предполагать, что оболочки представляют собой металлические листы. Скажем так, у нас есть два распределения заряда, локализованных на двух сферических оболочках?
@Etienne Bezout - Если вы предполагаете, что потенциал внешней оболочки равен нулю, то вопрос в том, предполагаете ли вы также, как обычно, что внешний потенциал равен нулю для $r->infinity$ . Если это так, то нет внешнего поля, как в заземленной ситуации. Если вы предполагаете, что два (разных) неподвижных заряда равномерно локализованы на концентрических сферах, у вас есть, вообще говоря, внешнее поле, и вы можете использовать закон Гаусса для его определения.
Хорошо, тогда я думаю, можно сделать вывод, что мое определение потенциала неверно, потому что неявно предполагается, что мы зафиксировали $V(\infty) = 0$ , а значения $V(a) = V_0$ , $V(2a) = 0$ опирайтесь на это предположение.

Сферические заряженные снаряды с заземлением

Этьен Безу

Ответы (2)

Фарчер

Этьен Безу

Фарчер

Этьен Безу

Фарчер

Этьен Безу

Фарчер

Этьен Безу

Фарчер

Этьен Безу

Фарчер

свободный

Этьен Безу

свободный

Этьен Безу

Электрическое поле и электрический потенциал, обусловленные индуцированными зарядами на внутренней поверхности полости во внешней точке, равны?

Когда использовать и не использовать закон Гаусса?

Электрическое поле однородно заряженной сферы с полостью [закрыто]

Как применить закон Гаусса к коаксиальным проводящим цилиндрам?

Удаление электрона из проводника

Электрическое поле однородно заряженного тетраэдра

Электрическое поле между двумя проводящими пластинами с нулевым потенциалом и плотностью объемного заряда между ними

Возможность произвольного распределения заряда

Почему электрическое поле бесконечной пластины постоянно во всех точках?

Электрические поля