Демонстрация общей теории относительности

Вот лучшая картина из всех, чтобы получить представление об общей теории относительности.

Если вы готовы потратить немного времени на понимание приведенной выше картины, вы поймете GR намного лучше, чем любой другой метод, без искажений и с использованием оригинального исходного материала.

В общих чертах это говорит о том, что кривизна 4-мерного пространства с левой стороны уравновешивается количеством массовой энергии с правой стороны.

Так$R_{v\mu}$это часть уравнения, которая говорит вам, насколько искривляется пространство-время в присутствии массы/энергии.

Следующий срок$\frac {1}{2}Rg_{v\mu}$это термин, который, среди прочего, включает в себя дифференцирование (без обид, но я предполагаю, что вы знаете основную идею дифференцирования, если функция A = функция B, то их производные также должны быть равны друг другу, поэтому Эйнштейн должен был включить этот термин ).

Последний срок$\Lambda g_{v\mu }$называется космологической постоянной, Эйнштейн должен был включить этот термин, иначе его уравнение предсказывало бы, что гравитация давным-давно сблизила галактики. Ему нужен был член, который действовал бы как отталкивающая сила, чтобы уравновесить гравитационное притяжение внутрь, поскольку во время своего уравнения он считал, что Вселенная статична. Это термин, который теперь связан с концепцией темной энергии.

С правой стороны находится$T_{v\mu }$(Числа перед ним, которые вы, вероятно, уже знаете, — это гравитационная постоянная Ньютона и с, скорость света в степени 4), которые используются для баланса обеих частей уравнения.

Термин$T_{v\mu }$является показателем того, сколько массы/энергии существует в данной области, эта область может включать область вокруг Земли, вплоть до размеров видимой Вселенной.

Гиперфизика или Википедия расскажут вам гораздо больше об этом уравнении, которое на самом деле не так сложно, и, на мой взгляд, определенно не сложнее, чем попытка понять, что художник пытается описать с помощью, скажем, пространства в форме батута. Единственный способ, которым мы, трехмерные существа, можем по-настоящему понять четырехмерное пространство-время, — это математика.

Вторая схема верна на сто процентов.

Один из великих принципов общей теории относительности — принцип эквивалентности — может быть использован для сведения диаграммы к диаграмме специальной теории относительности.

Нам важен человек в свободном падении, прыгающий с крыши дома и ударяющийся о землю. Принцип эквивалентности гласит, что это то же самое, что человек, стоящий в космическом корабле, который движется с ускорением 9,81 метра в секунду в квадрате. Итак, мы можем рассмотреть эквивалентную задачу: космический корабль движется с ускорением 9,81 метра в секунду в квадрате и проходит мимо свободно падающего человека, который «падает» с носа космического корабля на его хвост. В кадре человека (свободнопадающего наблюдателя) к нему с ускорением движется космический корабль (или земля), а он находится в плоском пространстве-времени! Принцип эквивалентности гласит, что фраза «земля, устремляющаяся вам навстречу» является 100% точной фразой. Давайте решим эту проблему полностью.

Сначала мы должны решить, по какому пути следует космический корабль. Чтобы сделать юниты красивыми, я предполагаю, что задняя часть космического корабля ускоряется на$9\cdot 10^{16}\mbox{ meters per second}^2$- большое число, чтобы компенсировать то, что оси на моем графике являются «метрами». оказывается$(ct,x)$координаты задней части космического корабля проследить путь$(\sinh(k),\cosh(k)-1)$(измеряется в метрах), а передняя часть космического корабля очерчивает путь$(ct_2,x_2)=((1+\ell)\sinh(k),(1+\ell)\cosh(k)-1)$, где$\ell$- собственная длина космического корабля в метрах. я подключаю$\ell=0.5\mbox{ meters}$. Это выглядит следующим образом:

Обратите внимание, что координатное положение носовой части космического корабля медленно приближается к задней части космического корабля из-за сокращения длины.

Все это описывается в плоском пространстве-времени Минковского. Наблюдатель в свободном падении не чувствует ни одной из сил ускорения и поэтому просто движется по прямой линии на этом графике:

Это ваша оригинальная фотография! Обратите внимание, что причина такого высокого ускорения на этом графике заключается в том, что одна отметка на горизонтальной оси (оси времени) составляет всего 3,3 наносекунды! Реальная версия для наших 9,81 метра в секунду в квадрате была бы просто менее преувеличенной версией этого графика.

Из-за сокращения длины носовая часть космического корабля всегда движется немного медленнее, чем задняя часть космического корабля. Замедление времени означает, что время течет медленнее для более быстро движущихся объектов. Таким образом, согласно нашему свободно падающему наблюдателю, время течет на носу космического корабля немного быстрее, чем на его задней части. Это точно так же, как указано в вашем примере, где время на крыше тикает быстрее, чем на земле.

Теперь мы решили задачу в системе координат нашего свободно падающего наблюдателя, но мы можем вернуться к системе координат космического корабля, используя принцип эквивалентности. Как только мы это сделаем, наши координаты преобразуются в координаты Риндлера . В наших деформированных координатах Риндлера свободно падающие объекты больше не следуют прямым линиям, а вместо этого удовлетворяют геодезическому уравнению .

Как ни странно, все это не имеет ничего общего с искривлением пространства-времени. Этот пример происходит полностью в плоском пространстве-времени. Хотя мы можем описать таким образом лифт, мы не можем описать таким образом всю сферическую Землю. Вся поверхность Земли не может «ускоряться наружу» одновременно... если только пространство-время не искривлено.

Объяснение формул.

В специальной теории относительности, если задняя часть космического корабля с постоянным собственным ускорением$g$, то он движется по гиперболе пространства-времени .$(ct,x)=(\frac{c^2}{g}\sinh(\frac{g \tau}{c}),\frac {c^{2}}{g}\left(\cosh {\frac {g\ \tau }{c}}-1\right))$, где$\tau$правильное время в задней части космического корабля. На самом деле нас не волнует правильное время в задней части космического корабля, поэтому мы можем просто определить$k=\frac{g \tau}{c}$и$a=\frac {c^{2}}{g}$. я выберу$a=1\mbox{ meter}$, представляющий собой ускорение$g=\frac{(3\cdot 10^8\mbox{ meters per second})^2}{1\mbox{ meter}}=9\cdot 10^{16}\mbox{ meters per second}^2$. Это намного больше, чем земные 9,81 метра в секунду в квадрате, но это делает математику намного лучше! Итак, там, где единицы измерения указаны в метрах, задняя часть космического корабля очерчивает путь:$(ct_1,x_1)=(\sinh(k),\cosh(k)-1)$

Как только мы узнаем, как выглядит постоянно ускоряющийся наблюдатель, мы можем придумать координаты Риндлера. Делаем вывод, что передняя часть космического корабля очерчивает путь$(ct_2,x_2)=((1+\ell)\sinh(k),(1+\ell)\cosh(k)-1)$. Это еще одна гипербола пространства-времени с чуть меньшим ускорением. Это соответствует постоянным координатам в координатах Риндлера, разделенным расстоянием$\ell$.

[редактировать]

Я изначально неправильно рассуждал так: я хочу, чтобы космический корабль всегда имел правильную длину$\ell$, так что я скажу, что передняя часть космического корабля$(ct,x+\frac{\ell}{\gamma})$, где$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$- коэффициент сокращения длины и$v$это скорость космического корабля. У нас есть$\frac{v}{c}=\frac{dx}{c dt}=\frac{\sinh(k)dk}{\cosh(k)dk}=\tanh{k}$. Подключив это и используя гиперболические триггерные тождества, мы находим$\gamma=\cosh{k}$, и что передняя часть космического корабля прослеживает путь$(\sinh(k),\cosh(k)-1+\frac{\ell}{\cosh(k)})$.

Это непоследовательно, поскольку подразумевает, что кончик движется медленнее, чем задний. Я не могу вывести коэффициент сокращения длины, предполагая, что все тело космического корабля движется с одинаковой скоростью, а затем сделать вывод, что носовая часть движется медленнее, чем задняя часть! (относительно нашего инерциального наблюдателя)