Действие Черна-Саймонса в 4 измерениях

Правило игры заключается в использовании$A$и$F=dA$написать топологическое действие, а в$d+1$-пространственно-временное измерение, которое вам нужно, чтобы придумать калибровочный инвариант $d+1$-форма, которую затем можно интегрировать в коллектор, чтобы дать вам действие. Такое действие вообще не зависит от метрики. Брать$U(1)$Калибровочное поле в качестве примера. В$2+1$, единственное, что вы можете записать, это$AF$($AAA$тождественно обращается в нуль), что и есть правило Черна-Саймонса. Затем в$3+1$, вы можете догадаться$FF, AAF, AAAA$.$AAF$и$AAAA$обращается в нуль из-за антисимметризации произведения клина. Итак, вы остались с$FF$. Это можно обобщить на другие группы Ли.

1. По определению лагранжева форма$\mathbb{L}$теории Черна-Саймонса (CS) (относительно калибровочного поля одной формы со значениями алгебры Ли$A$) является формой CS , т.е. действие CS читается

   $$S[A]~=~\int_M\mathbb{L}.$$ Внешняя производная$\mathrm{d}\mathbb{L}$формы CS является (также по определению) следом алгебры Ли полинома напряженности поля 2-формы$F$. Другими словами,$\mathrm{d}\mathbb{L}$должен иметь четную степень формы или, что то же самое,$\mathbb{L}$должна иметь нечетную степень формы и, следовательно, размерность пространства-времени$M$должно быть нечетным.

2. Конечно, можно было бы ввести новое определение обобщенной теории КС. В более общем смысле есть, например, понятие TQFT . TQFT могут существовать в любых измерениях.

3. В частности, следует упомянуть, что существует обобщенная теория 4D CS Костелло, Виттена и Ямадзаки, определенная на$\mathbb{R}^2\times\mathbb{C}$, ср. например, этот пост Phys.SE.

Использованная литература:

1. М. Накахара, Геометрия, топология и физика, 2003; Раздел 11.5.

2. Высшие теории CS на nLab .