Глобальные формы Черна-Саймонса и топологические калибровочные теории

Как вы сами говорите, действительно всякая связность на расслоении локально задается алгеброзначной 1-формой Ли и вообще только локально.

Скажем об этом подробнее: для$X$любое многообразие,$G$-основная связь на нем есть (в " Чех данных "):

1. выбор хорошей открытой крышки $\{U_i \to X\}$;

2. на каждом патче 1-форма$A_i \in \Omega^1(U_i)\otimes \mathfrak{g}$;

3. на каждом двойном пересечении патчей функция калибровочного преобразования$g_{i j} \in C^\infty(U_i \cap U_j, G)$

такой, что

1. на каждом двойном пересечении$U_i \cap U_j$у нас есть уравнение$A_j = g_{i j}^{-1} A g_{i j} + g_{i j}^{-1} \mathbf{d} g_{i j}$

2. на каждом тройном перекрестке$U_i \cap U_j \cap U_k$у нас есть уравнение$g_{i j} g_{j k} = g_{i k}$.

Хорошо, теперь вы хотите сформировать 3-форму Черна-Саймонса... что-то из этого. То, что вы сразу же получите из приведенных выше данных, — это набор локальных дифференциальных 3-форм, по одной на каждом патче:$CS(A_i) \in \Omega^3(U_i)$.

Чтобы эти 3-формы глобально склеились в то, что называется 3-формной связью , нам нужны очевидные данные более высокого калибровочного преобразования .

1. на каждом патче у нас есть локальная 3-форма$CS(A_i)$;

2. на каждом двойном пересечении должна быть 2-форма$B_{i j} \in \Omega^2(U_i \cap U_j)$какая калибровка преобразует соответствующие CS-3-формы друг в друга,$CS(A_j) = CS(A_i) + \mathbf{d} B_{i j}$;

3. на каждом тройном пересечении должна быть 1-форма$\alpha_{i j k} \in \Omega^1(U_i \cap U_j \cap U_k)$которое демонстрирует калибровочное преобразование второго порядка (« призраки призраков »!) между калибровочными преобразованиями первого порядка, в этом$B_{i j} + B_{j k} = B_{i k} + \mathbf{d} \alpha_{ i j k}$

4. наконец, на каждом четверном пересечении должна быть гладкая функция$h_{i j k l} \in C^\infty(U_i \cap U_j \cap U_k \cap U_l, U(1))$что калибровка калибровки-преобразует калибровку-калибров-превращается друг в друга, в этом$\alpha_{i j k} + \alpha_{i k l} = \alpha_{j k l} + \alpha_{i j l} + h_{i j k l}^{-1}\mathbf{d}h_{i j k l}$.

Это данные, которые превращают локальную 3-форму Черна-Саймонса в глобально четко определенное поле 3-форм. (Например, супергравитационное C-поле имеет такую ​​форму, с некоторыми дополнительными поворотами и добавленными наворотами, как мы обсуждали здесь ).

На математическом языке говорят, что такого рода локальные данные склейки калибровок калибровок для глобального определения полей высших форм являются «коциклом степени 4 в когомологиях Чеха-Делиня ». Это как раз те данные, которые нужны для того, чтобы иметь четко определенную 3-мерную высшую голономию , как это необходимо здесь для определения, потому что функционал действия Черна-Саймонса есть не что иное, как 3-мерная высшая голономия этой 3-формной связи.

Если вы можете построить его, то есть. Из вышеизложенного не совсем очевидно, как построить данные коцикла 3-формы.$\{CS(A_i), B_{i j}, \alpha_{i j k}, h_{i j k}\}$по заданным данным калибровочного поля$\{A_i, g_{i j}\}$.

Но это можно сделать. Именно для этого были открыты дифференциальные признаки Чигера-Саймонса . Явная конструкция, очень естественная для приложения к теории Черна-Саймонса, которую мы привели в

• Фиоренца, Шрайбер, Сташефф, коциклы Чеха для классов дифференциальных характеристик , Успехи в теоретической и математической физике, том 16, выпуск 1 (2012 г.) ( arXiv: 1011.4735 , сеть )

Основываясь на этом, мы даем подробное введение и обсуждение функционалов действия Черна-Саймонса для глобально нетривиальных ситуаций, таких как выше в

• Фьоренца, Сати, Шрайбер, Более высокий многоуровневый взгляд на теорию Черна-Саймонса ( arXiv:1301.2580 , Интернет )

В этой статье приводятся локальные формулы, которые обычно применяются, обсуждаются упрощения, возникающие, когда 3-многообразие можно считать ограничивающим, обсуждается, что происходит, если это не так, а затем исследуются различные другие свойства глобально определенной теории Черна-Саймонса, например, как соединить строки Уилсона с приведенной выше историей. Если вы просто посмотрите на первую часть, я думаю, вы должны найти то, что вам нужно.

редактировать: В комментариях ниже возник вопрос, почему подобное обсуждение не нужно также при записи функционала действия Янга-Миллса, чей лагранжиан является 4-формой$\langle F_A \wedge \star F_A \rangle$(куда$\star$- звезда Ходжа данной метрики (гравитации) и$\langle -,-\rangle$является инвариантным полиномом, «формой Киллинга» или следом) или, аналогично, топологическим функционалом действия Янга-Миллса, лагранжиан которого является 4-формой$\langle F_A \wedge F_A \rangle$.

Причина в том, что эти лагранжианы строятся из кривизны , оцениваемой инвариантным полиномом . Сама инвариантность этих инвариантных многочленов относительно присоединенного действия калибровочной группы на ее аргументы гарантирует, что если$\{U_i \to X\}$является хорошим открытым покрытием 4-мерного пространства (времени), и если калибровочное поле задано данными коцикла Чеха$\{A_i, g_{i j}\}$по отношению к этим локальным заплатам, что тогда при двойных перекрытиях два (топологических или нет) лагранжиана Янга-Миллса, исходящие из двух заплаток, уже равны

Следовательно, если мы напишем$\nabla = \{A_i, g_{i j}\}$для связи калибровочного поля абстрактно и обозначим (топологический) лагранжиан Янга-Миллса глобально через$\langle F_\nabla \wedge F_\nabla\rangle$, то это уже глобально определенная 4-форма. Математически это утверждение лежит в основе теории Черна-Вейля .

Обратите внимание, что, тем не менее, существует сложная связь с историей функционала Черна-Саймонса. А именно местная форма Черна-Саймонса $CS(A_i)$обладает особым свойством (по существу, по определению), что его дифференциал является топологическим лагранжианом Янга-Миллса:

Это означает, что если рассматривать лагранжиан Черна-Саймонса как 3-формную связность , то топологический лагранжиан Янга-Миллса является его 4-формой кривизны . Таким образом, отношение между топологической 4-формой Лагранжа Янга-Миллса и 3-формой Черна-Саймонса является в точности аналогом в более высокой калибровочной теории знакомого отношения на две ступени ниже того, как 1-форма электромагнитного потенциала — которая не является глобально определена в общем — имеет 2-форму кривизны, которая хорошо определена в глобальном масштабе.

Математически поэтому функционалы Черна-Саймонса называются « вторичными инвариантами » .

В самом деле, это нечто большее, чем просто аналогия: 3-форма Черна-Саймонса как раз и есть удвоенный аналог электромагнитного поля при переходе от точки по струне к мембране .

У меня есть несколько конспектов лекций в этом направлении в nLab: скрученные гладкие когомологии в теории струн .