Действительно ли энергия основного состояния квантового поля равна нулю?

Question

Действительно ли энергия основного состояния квантового поля равна нулю?

вакуум
Физика
антивещество
квантовая механика
квантовая теория поля
уравнение Клейна-Гордона

Джон Истмонд

Я начну с изложения того немногого, что мне известно об основах квантовой теории поля.

Простейшая релятивистская теория поля описывается уравнением движения Клейна-Гордона для скалярного поля $\phi(\vec{x},t)$ :

\frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{2}} - \nabla^{2} ф + м^{2} ф "=" 0.

$\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\nabla^2\phi+m^2\phi=0.$ Мы можем отделить степени свободы друг от друга, выполнив преобразование Фурье:

ф (\vec{Икс}, т) "=" \int \frac{г^{3} п}{(2 π)^{3}} е^{я \vec{п} \cdot \vec{Икс}} ф (\vec{п}, т) .

$\phi(\vec{x},t)=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i\vec{p}\cdot \vec{x}}\phi(\vec{p},t).$ Подставляя обратно в уравнение Клейна-Гордона, мы находим, что

ϕ (\vec{p}, t)

$\phi(\vec{p},t)$ удовлетворяет простому гармоническому уравнению движения

\frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{2}} "=" - ({\vec{п}}^{2} + м^{2}) ф .

$\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=-(\vec{p}^2+m^2)\phi.$ Поэтому для каждого значения

\vec{p}

$\vec{p}$ ,

ϕ (\vec{p}, t)

$\phi(\vec{p},t)$ решает уравнение гармонического осциллятора, колеблющегося с частотой

ю_{\vec{п}} "=" + \sqrt{{\vec{п}}^{2} + м^{2}} .

$\omega_\vec{p}=+\sqrt{\vec{p}^2+m^2}.$ Таким образом, общее решение уравнения Клейна-Гордона представляет собой линейную суперпозицию простых гармонических осцилляторов с частотой

ω_{\vec{p}}

$\omega_\vec{p}$ . Когда эти гармонические осцилляторы проквантованы, мы обнаруживаем, что каждый из них имеет набор дискретных уровней положительной энергии, определяемый выражением

Е_{н}^{п} "=" ℏ ю_{\vec{п}} (н + \frac{1}{2})

$E^p_n=\hbar\omega_\vec{p}(n+\frac{1}{2})$ для

n = 0, 1, 2 \dots

$n=0,1,2\ldots$ где

n

$n$ интерпретируется как число частиц с импульсом

\vec{p}

$\vec{p}$ .

Мой вопрос: как насчет решений гармонического осциллятора, которые вибрируют с отрицательной частотой?

{\bar{ю}}_{\vec{п}} "=" - \sqrt{{\vec{п}}^{2} + м^{2}} ?

$\bar{\omega}_\vec{p}=-\sqrt{\vec{p}^2+m^2}?$

Когда эти гармонические осцилляторы квантуются, мы получаем набор дискретных уровней отрицательной энергии, определяемый выражением

{\bar{Е}}_{н}^{п} "=" ℏ {\bar{ю}}_{\vec{п}} (н + \frac{1}{2})

$\bar{E}^p_n=\hbar\bar{\omega}_\vec{p}(n+\frac{1}{2})$ для

n = 0, 1, 2 \dots

$n=0,1,2\ldots$ где

n

$n$ теперь можно интерпретировать как количество античастиц с импульсом

\vec{p}

$\vec{p}$ .

Если это верно, то полная энергия основного состояния на импульс $\vec{p}$ , дан кем-то

\begin{array}{rcl} Т_{0}^{п} & "=" & Е_{0}^{п} + {\bar{Е}}_{0}^{п} \\ "=" & \frac{ℏ \sqrt{{\vec{п}}^{2} + м^{2}}}{2} + \frac{- ℏ \sqrt{{\vec{п}}^{2} + м^{2}}}{2} \\ "=" & 0. \end{array}

$\begin{eqnarray} T^p_0 &=& E^p_0+\bar{E}^p_0\\ &=& \frac{\hbar\sqrt{\vec{p}^2+m^2}}{2} + \frac{-\hbar\sqrt{\vec{p}^2+m^2}}{2}\\ &=& 0. \end{eqnarray}$

Таким образом, полная энергия основного состояния $T_0$ , равно нулю; нулевой энергии нет.

Имеет ли смысл такая интерпретация решений с отрицательной частотой?

вероятно_кто-то

Связано: physics.stackexchange.com/questions/364240/… , в котором полная энергия реального поля Клейна-Гордона в любом состоянии видится бесконечной.

Ответы (2)

Действительно ли энергия основного состояния квантового поля равна нулю?

Связано: physics.stackexchange.com/questions/364240/… , в котором полная энергия реального поля Клейна-Гордона в любом состоянии видится бесконечной.

Любопытный Разум · Answer 1

Нет, это не имеет никакого смысла. Здесь нет отрицательных импульсных осцилляторов. В импульсном пространстве гамильтониан свободного вещественного скалярного поля $\phi$ является

ЧАС "=" \int (\frac{1}{2} | Π (\vec{п}) |^{2} + \frac{ю_{п}^{2}}{2} | ф (\vec{п}) |^{2}) \frac{г^{3} п}{(2 π)^{3}},

$H = \int \left(\frac{1}{2} \lvert \Pi(\vec p) \rvert^2 + \frac{\omega_p^2}{2} \lvert \phi(\vec p) \rvert^2 \right)\frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3},$ где

ω_{p} = \sqrt{{\vec{p}}^{2} + m^{2}}

$\omega_p = \sqrt{\vec p^2 + m^2}$ . Нет двусмысленности знаков:

ω_{p}

$\omega_p$ всегда положительно, и свободное скалярное поле можно рассматривать как набор таких осцилляторов с положительной частотой, по одному на каждый импульс

\vec{p}

$\vec p$ .

«Решения с отрицательной частотой», о которых вы, вероятно, слышали, представляют собой нечто иное: в расширении мод для поля в пространстве положений мы имеем

ф (Икс) "=" \int \frac{г^{3} п}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 ю_{п}}} (а (\vec{п}) опыт (я п Икс) + а^{†} (\vec{п}) опыт (- я п Икс))

$\phi( x) = \int \frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_p}} \left( a(\vec p) \exp(\mathrm{i}px) + a^\dagger(\vec p)\exp(-\mathrm{i}px)\right)$ и доквантовая теоретико-полевая интерпретация

ϕ (x)

$\phi(x)$ как волновая функция теперь идентифицирует

a (\vec{p}) \exp (i p x)

$a(\vec p)\exp(\mathrm{i}px)$ как «отрицательное частотное решение», поскольку собственное гамильтоново состояние развивается как

\exp (- i ω_{p} t)

$\exp(-\mathrm{i}\omega_pt)$ но это содержит термин

\exp (i ω_{p} t)

$\exp(\mathrm{i}\omega_p t)$ . Поскольку квантовая теория поля не определяет

ϕ (x)

$\phi(x)$ как решение уравнения Шредингера, здесь нет проблем с этим термином.

my2cts · Answer 2

Отрицательных энергетических уровней нет. Энергетические уровни, принадлежащие отрицательным частотам, также положительны. Энергия Нётер пропорциональна $\omega^2$ деленная на квадрат нормы, пропорциональная $\sqrt{\omega}$ , поэтому он положительно определен. Угловая частота может быть положительной или отрицательной, но ее знак определяет знак заряда.

Почему энергия пропорциональна $\omega^2$ ? откуда вы это взяли? И как это означает, что оно положительно определено? $A=-\omega^2$ также пропорциональна $\omega^2$ , но отрицательно определена.
@accidentalfouriertransform Вы совершенно правы. - Е отрицательно определен. Дело в том, что изменение знака $\omega$ не меняет знак энергии, а только знак заряда.

Действительно ли энергия основного состояния квантового поля равна нулю?

Джон Истмонд

вероятно_кто-то

Ответы (2)

Любопытный Разум

my2cts

СлучайныйПреобразование Фурье

my2cts

Создание пар частица-античастица

Решения с отрицательной энергией в уравнениях Клейна-Гордона и Дирака

Как думать об античастицах в уравнении КГ?

Как найти функции Грина для нестационарного неоднородного уравнения Клейна-Гордона?

Вакуум в квантовых теориях поля: что это такое?

Вопрос о «волновой функции» в релятивистской квантовой механике (РКМ) и квантовой теории поля (КТП)

Являются ли флуктуации вакуума гауссовскими?

Вакуумная энергия реального поля Клейна-Гордона

Физическая интерпретация сохраняющегося заряда уравнения Клейна-Гордона

Почему уравнение Клейна-Гордона второго порядка по времени?