Действительно ли волновые функции принадлежат пространству L2L2L^2, или нам нужно еще больше ограничить наше физическое гильбертово пространство?

Я начинаю изучать квантовую механику и застрял в самом начале. Я пытаюсь доказать, что производная по времени ожидаемого значения импульса частицы есть (отрицательное) ожидаемое значение градиента потенциала, т. е. в одном измерении имеем

г ⟨ п ⟩ г т "=" − ⟨ г В г Икс ⟩
что значит
г ⟨ п ⟩ г т "=" − ∫ − ∞ ∞ ψ * ∂ В ∂ Икс ψ   г Икс
(здесь ψ * представляет собой комплексное сопряжение ψ )

Волновая функция ψ должен быть суммируем с квадратом, т.е. жить в л 2 ( р ) . Я понимаю, что мы можем частно отнести это пространство к отношению эквивалентности, которое связывает две функции, которые почти всюду равны, поэтому мы можем правильно сказать, что ψ ( Икс , т ) ⟶ 0 когда Икс ⟶ ± ∞ и таким образом мы можем избавиться от граничных членов при интегрировании по частям. Но при выводе приведенного выше соотношения я получил следующее:

г ⟨ п ⟩ г т "=" ∫ − ∞ ∞ В ( ψ * ∂ ψ ∂ Икс + ψ ∂ ψ ∂ Икс * )   г Икс − ℏ 2 2 м [ ∂ ψ ∂ Икс * ∂ ψ ∂ Икс ] − ∞ ∞
Теперь граничный член должен исчезнуть, чтобы отношение было проверено, но почему он исчезает? Есть функции в л 2 чьи производные не входят в л 2 , и этот граничный член не исчезает в некоторых из этих случаев. Должны ли мы вместо этого рассматривать волновые функции в каком-то пространстве Соболева? Есть ли физическая причина исчезновения граничных членов?

Ответы (1)

Вы правы, что технически нужно быть осторожным, а пространства Соболева и т. д. или какое-то подмножество л 2 с соответствующими граничными условиями следует учитывать, когда нужно быть точным.

Однако во вводных текстах по квантовой механике эти детали, касающиеся граничных членов, обычно (успешно) засовываются под ковер, говоря такие вещи, как «поле и его производные падают до нуля вблизи бесконечности». Такой подход позволяет больше сосредоточиться на физике и меньше на математической стороне дела. Конечно, это всего лишь дело вкуса, если вы получаете правильные результаты ;-)

Исчезновение волновой функции и ее производных вблизи бесконечности обычно мотивируется утверждением, что рассматриваемая система каким-то образом локализована в пространстве, и ссылкой на кажущийся разумным принцип, согласно которому это не должно влиять на дальнюю физику: с математической точки зрения предполагается, что все эти поля имеют компактный носитель.

Исходя из моего личного опыта работы со строгой квантовой механикой, обычно в конечном итоге получают точно такие же результаты, которые получают более элементарными — и для некоторых, менее удовлетворительными — средствами «физической» КМ.

Не является ли это предположение о «локальности» слишком антропоцентричным? Насколько я понимаю (которых увы не так уж и много) некоторые интересные факты о КМ тяготеют к падению местного реализма.
Но это может быть метафизический вопрос для философии. SE :)
Я предполагаю, что вы имеете в виду такие вещи, как теорема Белла - такие вопросы не рассматриваются в этом ответе. Тем не менее, я действительно думаю, что для того, чтобы сделать физику значимой, принципиально необходимо какое-то понятие локальности. Без него всегда можно «обвинить инопланетян» во всем, что происходит в окружающем нас мире.
Конечно, это включает в себя такие вещи, как запутанность; Частицы должны были взаимодействовать (т. е. они должны были находиться в причинном контакте), чтобы произошло нечто подобное. В типичных установках типа Белла сначала позволяют частицам взаимодействовать, а затем они разделяются.
Ограничение на некоторые подпространства, подобные пространствам Соболева, не является ограничением пространства физических состояний, imo, а просто ограничением областей определения операторов (которые из неограниченных не могут быть определены везде для начала)
@ACuriousMind Думаю, я согласен, что это более естественный способ думать об этом. Хотя я не думаю, что это действительно важно. Если хотите, я предлагаю вам расширить мой ответ на абзац или около того, упомянув Хеллингера-Тёпица (я полагаю, вы имеете в виду именно это).
На самом деле достаточно потребовать, чтобы ψ является (сильным) решением уравнения Шредингера в позиционном пространстве, это особенно требует, чтобы ψ должен быть дважды (слабо) дифференцируем по Икс , произносится физически: ψ не может варьироваться слишком сумасшедшими способами. Если совместить это с тем, что ψ и производные от ψ являются л 2 , это означает, что ψ исчезает на бесконечности. Математически говорят: ψ ( ⋅ , т ) е ЧАС 2 ( р 3 ) (пространство Соболева дважды дифференцируемых функций) влечет лим | Икс | → ∞ ψ ( Икс , т ) "=" 0 .
@Daniel, дух этого ответа заключается в том, что такие технические детали обычно оказываются несущественными; правильные физические допущения обычно приводят к тем же выводам, особенно при рассмотрении элементарных задач того типа, с которыми можно столкнуться во вводных книгах по КМ.
@Danu Вот почему я не опубликовал это как отдельный ответ;). Смысл моего комментария в том, что то, что вы называете «местностью», не является дополнительным предположением, оно исходит только из того факта, что вы требуете ψ быть решением SE.
Действительно ли волновые функции принадлежат пространству L2L2L^2, или нам нужно еще больше ограничить наше физическое гильбертово пространство?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v