Как вычислить математическое ожидание ⟨x2⟩⟨x2⟩\langle x^2 \rangle в квантовой механике?

В общем,$\psi$будет комплекснозначной функцией. И так$|\psi(x)|^2$будет не равно просто$\psi(x)^2$но это$\psi(x)$, умноженное на его комплексно-сопряженное:$|\psi(x)|^2=\psi(x)^*\psi(x)$.

О другом вашем вопросе, о значении$|\psi(x)|^2$это плотность вероятности, с$[|\psi(x)|^2 \mathrm{d}x]$давая вероятность того, что частица находится между$x$и$x + \mathrm{d}x$.

В квантовой механике вероятность того, что частица находится в определенном состоянии, описывается функцией плотности вероятности$\rho(x,t)$.

Предположим, моя система представляет собой шестигранный кубик. Тогда ожидаемое значение для данного броска равно

Точно так же ожидаемое значение для данного параметра$x$частицы в квантовой механике

Обратите внимание, что в квантовой механике у нас есть не только состояния, но и их суперпозиции. Еще$\rho(x,t)$не содержит информации об этих суперпозициях, только наблюдаемые состояния. Следовательно, нам нужно нечто более фундаментальное, включающее информацию о суперпозициях. Это то что$\psi$для чего и почему$\psi(x,t) \in \Bbb C$. По правилу Борна (аксиома),

$\psi$можно рассматривать как сложный вектор-столбец с бесконечным количеством записей, индексированных переменной$x$. Вход в$x$ая позиция обозначается как$\psi(x)$.$|\psi(x)|^2$тогда квадрат моды записи в$x$позиция. Выражение$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2|\psi(x)|^2dx$может быть эвристически понято как:

$[*,*,\overline{\psi(x)},*,*]\left[ \begin{array}{cc} * & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & * & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & x^2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & * & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & *\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}*\\*\\\psi(x)\\*\\*\end{array}\right]$

Где$[*,*,\overline{\psi(x)},*,*]$- бесконечномерный вектор-строка, транспонированный сопряженный вектору-столбцу$\psi$; А посередине у нас бесконечномерная диагональная матрица,$(x,x)$запись$x^2$. Это в целом верно для QM. Любой наблюдаемый$A$может быть записана как эрмитова матрица, которая действует в пространстве векторов-столбцов (пространство состояний), и ее ожидаемое значение для данного вектора-столбца$\psi$определяется как$\langle A\rangle_{\psi}=\psi^{\dagger}A\psi = \displaystyle\sum_{i,j}\overline{\psi_i}A_{ij}\psi_{j}$. В этом бесконечномерном случае, как указано выше, сумма заменяется интегралом по непрерывным индексам.