Понимание дельты Хевисайда и Дирака для квантовой ступенчатой функции

Question

Понимание дельты Хевисайда и Дирака для квантовой ступенчатой функции

железный человек

Глядя на решение с этого сайта , я немного запутался в том, как обязательно уменьшаются два количества.

Мне дана эта волновая функция

ψ (Икс) "=" {\begin{cases} А Икс & 0 < Икс < а / 2 \\ А (а - Икс) & а / 2 < Икс < а \\ 0 & в противном случае \end{cases}

$\psi(x) = \begin{cases} Ax & 0<x<a/2 \\ A(a-x) & a/2 < x < a \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

Если я возьму производную, мы можем выразить ее как ступенчатую функцию.

\begin{aligned} \frac{\partial ψ (Икс)}{\partial Икс} & "=" {\begin{cases} А & 0 < Икс < а / 2 \\ - А & а / 2 < Икс < а \\ 0 & в противном случае \end{cases} \\ "=" А [θ (Икс) - θ (Икс - \frac{а}{2}) - θ (Икс - \frac{а}{2}) + θ (Икс - а)] . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial\ \psi(x)}{\partial x} &= \begin{cases} A & 0<x<a/2 \\ -A & a/2 < x < a \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \\ &\\ &= A \left[ \theta(x) - \theta \left (x-\frac{a}{2} \right) - \theta \left( x-\frac{a}{2} \right) + \theta(x-a) \right] \, . \end{align}$

Первый вопрос

Как к этому сводится ступенчатая функция?

А [θ (Икс) - θ (Икс - \frac{а}{2}) - θ (Икс - \frac{а}{2}) + θ (Икс - а)] "=" - А (2 θ (Икс - \frac{а}{2}) - 1),

$A \left[ \theta(x) - \theta \left(x-\frac{a}{2} \right) - \theta \left(x-\frac{a}{2} \right) + \theta(x-a) \right] = -A \left( 2 \theta \left(x-\frac{a}{2} \right) - 1 \right) \, ,$ то есть откуда взялся тот?

Итак, с этим количеством я беру вторую производную, чтобы получить

\frac{\partial^{2} ψ (Икс)}{\partial^{2} Икс} "=" - 2 А дельта (Икс - \frac{а}{2}) .

$\frac{\partial^2\ \psi(x)}{\partial^2 x} = -2A\ \delta \left(x-\frac{a}{2} \right) \, .$

Второй вопрос

Итак, теперь осталось интегрировать мою вторую производную с моей ступенчатой функцией, в которой я понятия не имею, какие члены исчезают.

\int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} \frac{\partial^{2} ψ (Икс)}{\partial^{2} Икс} г Икс "=" А \int_{0}^{а / 2} Икс дельта (Икс - а / 2) г Икс + А \int_{а / 2}^{а} а дельта (Икс - а / 2) г Икс - А \int_{а / 2}^{а} Икс дельта (Икс - а / 2) г Икс

$\int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*} \frac{\partial^2\ \psi(x)}{\partial^2 x}dx = A \int_{0}^{a/2} x \delta(x-a/2) dx + A \int_{a/2}^{a} a \delta(x-a/2) dx - A \int_{a/2}^{a} x \delta(x-a/2) dx$

Как мне поступить и в чем причина?

Билл Уоттс

The

1

$1$ исходит из того, что

θ (x)

$\theta(x)$ является

1

$1$ в промежутке от

0

$0$ к а.

θ (x - a)

$\theta(x-a)$ влияет только на значения

x > a

$x > a$ , поэтому на этом интервале им можно пренебречь.

Ответы (1)

Понимание дельты Хевисайда и Дирака для квантовой ступенчатой функции

The $1$ исходит из того, что $\theta(x)$ является $1$ в промежутке от $0$ к а. $\theta(x-a)$ влияет только на значения $x > a$ , поэтому на этом интервале им можно пренебречь.

шипучий натуральный · Answer 1

Первый вопрос Я предполагаю, что ваш источник неявно заявляет: «Давайте сосредоточимся только на $] 0,a [$ '. Вы можете оставить $\theta(x)$ и $\theta(a-x)$ , соответствующие дельты все равно исчезнут (см. ниже).

Второй вопрос. Я бы сказал, что то, как вы написали интеграл, пропускает некоторые части:

\int_{0}^{а / 2} ψ^{*} \frac{\partial^{2} ψ (Икс)}{\partial^{2} Икс} г Икс "=" \int_{0}^{а / 2} А Икс \cdot - 2 А дельта (Икс - \frac{а}{2}) г Икс "=" А \int_{0}^{а / 2} дельта (Икс - а / 2) г Икс ? ?

$\int_{0}^{a/2} \psi^{*} \frac{\partial^2\ \psi(x)}{\partial^2 x} \ \mathrm{d}x = \int_{0}^{a/2} A x \cdot -2A\ \delta(x-\frac{a}{2}) \ \mathrm{d}x = A \int_{0}^{a/2} \delta(x-a/2) \ \mathrm{d} x \ \ ??$ И т. д.

В любом случае, вы можете рассчитать математическое ожидание энергии, используя непосредственно свойство дельты:

\int_{{Икс}_{1}}^{{Икс}_{2}} ф (Икс) дельта (Икс - с) г Икс "=" ф (с)

$\int_{x_1}^{x_2} f(x) \delta(x-c) \ \mathrm{d}x = f(c)$ где

c \in] x_{1}, x_{2} [

$c \in \ ]x_1, x_2[$ (но вы правильно написали

] - \infty, \infty [

$]-\infty,\infty[$ , так что это, конечно, правда).

Если ты хочешь, $\int_{x_1}^{x_2} f(x) \delta(x-x_2) \ \mathrm{d}x = f(x_2) / 2$ и т. д., но проще, если вы вообще не делите интеграл.

Привет, я определил границы интеграла из $[-\infty,\infty]$ для представления всего пространства, которое сводится к границам ступенчатой функции. Для интегралов $\int_{a/2}^{a} x \delta(x-a/2)dx + \int_{a/2}^{a} \delta(x-a/2)$ , как бы вы это оценили?
Будет сложно, если вы попытаетесь разделить интеграл только в точке оценки дельты (но возможно: разделите результат на 2). Может быть, я должен добавить это в ответ.
@DarthLazar Вам удалось это решить? Единственная реальная проблема, которую я мог видеть, заключалась в том, как применить дельту Дирака (несколько неправильным способом, который вы всегда будете видеть в физике), и я попытался решить ее, но если есть что-то еще, пожалуйста, попробуйте расширить это, потому что Я не могу понять это сам.

Понимание дельты Хевисайда и Дирака для квантовой ступенчатой функции

железный человек

Первый вопрос

Второй вопрос

Билл Уоттс

Ответы (1)

шипучий натуральный

железный человек

шипучий натуральный

шипучий натуральный

Частица бесконечной ямы, подверженная дополнительной временной зависимости. потенциал

Потенциал тройной дельты в квантовой механике

Бесконечная потенциальная энергия ямы для кусочно-постоянной волновой функции

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Попытка сначала понять основы положения и импульса в квантовой механике.

Ожидаемое значение гамильтониана?

Как доказать, что dp/dt = -dV/dx? Квантовая механика [закрыто]

Расчет ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle и ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle для волновой функции [закрыто]

Интегрирование e−itp2+m2√e−itp2+m2e^{-it\sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}} для амплитуды QM

Ожидаемое значение p2p2p^2, выходящего из комплекса [закрыто]

Понимание дельты Хевисайда и Дирака для квантовой ступенчатой ​​функции

железный человек

Первый вопрос

Второй вопрос

Билл Уоттс

Ответы (1)

шипучий натуральный

железный человек

шипучий натуральный

шипучий натуральный

Понимание дельты Хевисайда и Дирака для квантовой ступенчатой функции