Квантовая механика (Гриффитс); Я пропустил тонкий аргумент в доказательстве?

Я работаю над доказательством в книге Гриффита по квантовой механике (глава 1.4 — Нормализация) и чувствую, что упускается тонкая деталь. Если кто-то может внести ясность, это поможет.

У нас есть$\Psi = \Psi(x,t)$и автор в конечном итоге достигает этой точки в доказательстве.

$$\frac{d}{dt}\int^\infty_{-\infty}|\Psi|^2 dx = a\int^\infty_{-\infty}\frac{\partial}{\partial x}\bigg(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\bigg)dx$$

где$a$является константой. До этого момента я следую. Тогда автор утверждает

$$a\int^\infty_{-\infty}\frac{\partial}{\partial x}\bigg(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\bigg)dx = a\bigg(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\bigg)\bigg|^\infty_{-\infty} = 0.$$

Исходя из того, что волновая функция должна обращаться в нуль на бесконечности. Вот моя проблема:

Позволять

$\bigg(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\bigg) = f(x,t)$

как я предполагаю, так и должно быть. Не правда ли тогда, что

$a\int^\infty_{-\infty}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dx = af(x,t)\bigg|^\infty_{-\infty}+aC(t)$

где$C(t)$– постоянная интегрирования по$x$.

Таким образом, автор говорит, что первый член физически стремится к нулю, но не упоминает второй член, который был бы только функцией$t$. Я упускаю здесь физическую точку интуиции? Или я ошибаюсь в своем интегрировании частных производных? Любая помощь приветствуется.

Для контекста это доказательство сделано, чтобы показать, что нормализация волновой функции не меняется со временем.