Diff(M) как калибровочная группа и локальные наблюдаемые в теориях с гравитацией

На уровне теории представлений группа диффеоморфизмов в общей теории относительности и ее расширениях играет ту же роль, что и симметрии Янга-Миллса в калибровочных теориях. В обоих случаях можно определить действие симметрии на операторы.

В обоих случаях в физическом спектре допускаются только калибровочно-инвариантные состояния — синглеты. Вот почему теория представлений калибровочной группы не играет никакой роли на уровне гильбертова пространства — важны только синглеты. Вот почему «калибровочные симметрии» всегда просто уменьшают количество независимых степеней свободы, и многие люди предпочитают называть их «калибровочными избыточностями», а не «калибровочными симметриями».

В обоих случаях последнее условие калибровочной инвариантности («физические состояния — синглеты») должно полностью выполняться для преобразований, сходящихся к тождеству на бесконечности. В обоих случаях есть свои тонкости для преобразований, меняющих асимптотическую область (поля на пространственной бесконечности). В обоих случаях калибровочная инвариантность физических состояний возникает как квантовая версия закона Гаусса — подмножества уравнений Максвелла или Эйнштейна, которые не содержат никаких производных по времени и поэтому могут рассматриваться как ограничения на начальное состояние, а не уравнения эволюции. : это$\mbox{div} D=\rho$уравнение в случае электромагнетизма. Соответствующий оператор$(\mbox{div} D-\rho)$должен уничтожить физические состояния$|\psi \rangle$в квантовой теории (что нетривиально, если квантовая теория формулируется в терминах избыточных полей, калибровочных потенциалов). Полная аналогия существует для уравнений Эйнштейна (в ограничение входит внешняя кривизна среза).

Разница между двумя калибровочными группами как раз в «деталях» — в том, как они действуют на пространство-время.

Преобразования Янга-Миллса локальны, поэтому$\phi(x,y,z,t)$изменяется только другими полями в той же точке$(x,y,z,t)$: представьте фазовое превращение заряженного поля$\phi$, Например. В случае диффеоморфизма замена нелокальна: поле в одной точке зависит от полей в другой точке$(x',y',z',t')$до трансформации.

Это техническое отличие меняет характер калибровочно-инвариантных наблюдаемых — и только калибровочно-инвариантные наблюдаемые могут соответствовать числам, имеющим физический смысл и поддающимся измерению. Поскольку калибровочные преобразования в калибровочной теории локальны, можно построить калибровочно-инвариантные локальные операторы, такие как$\mbox{Tr}(F_{\mu\nu} (x,y,z,t)F^{\mu\nu}(x,y,z,t))$, чтобы выбрать случайный пример.

В случае общей теории относительности такие величины не являются калибровочно-инвариантными, поскольку, например, скаляр Риччи$R(x,y,z,t)$преобразуется в скаляр Риччи в другой точке$R(x',y',z',t')$, поэтому даже скаляр Риччи в данной точке не является калибровочно-инвариантным. Чтобы построить калибровочно-инвариантные наблюдаемые в общей теории относительности, нужно быть чувствительным, например, к интегрированию по всему пространству (или пространству-времени). Например, энергия АДМ калибровочно-инвариантна на асимптотически плоском фоне.

Физический аппарат, существующий в гравитационной теории, не представлен какой-либо локальной наблюдаемой — в техническом смысле «локальной», — поскольку его местоположение не является калибровочно-инвариантной величиной. Если у вас есть небольшое устройство поблизости от$(x,y,z,t)=(0,0,0,0)$, его измеренные результаты могут быть выражены как функционал полей в окрестности$(0,0,0,0)$. Однако это верно только в одной системе координат. Другими словами, это верно только до того, как вы сделаете общее калибровочное преобразование. После калибровочного преобразования форма наблюдаемой, соответствующая измеряемой прибором величине, выражается другой формулой, включающей физические поля — новая формула зависит от полей при разных значениях$(x,y,z,t)$.

Вы можете «знать», что$(0,0,0,0)$является "физически" той же точкой, что и$(7,2,-3,5)$в каких-то новых координатах, но математика этого не знает: форма выражения изменена, так что величина не является калибровочно-инвариантной. Точно так же вы могли бы утверждать, что знаете, что «поле красных кварков» до$SU(3)$трансформация "физически" то же самое, что и "поле зеленых кварков" после трансформации - потому что вы тоже знаете трансформацию. Но именно потому, что форма поля, соответствующего «одной и той же физической вещи», зависит от преобразования, мы говорим, что цветные поля в КХД — и локальные операторы в ОТО — калибровочно -инвариантны.

Вы можете точно определить местоположение гаджета, определив его правильное расстояние от$d-1=3$точки A, B, C на «бесконечности» или «достаточно далеко», где вы уже требуете, чтобы законные калибровочные преобразования (переопределения координат) были тривиальными. Но вычисление точки — и полей в этой точке — будет зависеть от метрического тензора между аппаратом и точками А, В, С. Таким образом, определение наблюдаемых, представляющих значения, измеренные аппаратурой, явно и неизбежно нелокально.

Опять же, в теории с координатно-репараметризационной симметрией нет калибровочно-инвариантных наблюдаемых. Я утверждаю, что текст выше делает это полностью ясным, но если это неясно, пожалуйста, запишите что-нибудь, что вы считаете калибровочно-инвариантной локальной величиной - как функцию основных степеней свободы - в теории с общей ковариантностью и Я покажу вам, почему это не калибровочно-инвариантная локальная величина. Их нет.