Вывод основного уравнения для диаграмм Виттена

Я мог понять происхождение пропагаторов «объем-к-границе» ( К ) для скалярных полей в А г С но итеративное определение распространителей «масса-масса» мне не ясно.

Он использует обозначение, что К Δ я ( г , Икс ; Икс ′ ) является объемно-граничным пропагатором, т. е. решает ( ◻ − м 2 ) К Δ я ( г , Икс ; Икс ′ ) "=" дельта ( Икс − Икс ′ ) и он распадается как с г − Δ я (при некоторой постоянной с ) для г → 0 . В частности, есть выражение, К Δ я ( г , Икс ; Икс ′ ) "=" с г Δ я ( г 2 + ( Икс − Икс ′ ) 2 ) Δ я

  • Учитывая, что это К интегрируется с граничными полями при Икс ′ чтобы получить объемное поле в ( г , Икс ) , я не понимаю, почему это называется пропагатором от объема к границе. Я бы подумал, что это пропагатор "граница-к-массе"! Буду рад, если кто-нибудь объяснит эту терминологию.

  • Хотя следующее уравнение очень интуитивно понятно, я не могу найти его вывод и хочу знать вывод этого более обобщенного выражения, которое записывается как

ф я ( г , Икс ) "=" ∫ г Д Икс ′ К Δ я ( г , Икс ; Икс ′ ) ф я 0 ( Икс ′ ) + б ∫ г Д Икс ′ г г ′ − г г Δ я ( г , Икс ; г ′ , Икс ′ ) × ∫ г Д Икс 1 ∫ г Д Икс 2 К Δ Дж ( г , Икс ; Икс 1 ) К Δ к ( г , Икс ; Икс 2 ) ф Дж 0 ( Икс 1 ) ф к ) ( Икс 2 ) + . . .

где "b" определяется ниже в действии С б ты л к , поля с верхним индексом 0 возможно, значения полей на границе и г Δ я ( г , Икс ; г ′ , Икс ′ ) - пропагатор «объем-объем» определяется как функция такая, что

( ◻ − м я 2 ) г Δ я ( г , Икс ; г ′ , Икс ′ ) "=" 1 − г дельта ( г − г ′ ) дельта Д ( Икс − Икс ′ )

  • Вот каково предельное значение этого г Δ я ( г , Икс ; г ′ , Икс ′ ) что оправдывает индекс Δ я .

Также в этом контексте было переопределено К ( г , Икс ; Икс ′ ) как,

К ( г , Икс ; Икс ′ ) "=" л я м г ′ → 0 1 γ н → . ∂ г ( г , Икс ; г ′ , Икс ′ ) где γ это метрика г ограничивается границей.

  • Как показать, что это определение К и тот, что был указан ранее, одинаковы? (..хотя это очень интуитивно понятно..)

  • Я также хотел бы знать, связано ли как-то приведенное выше обобщенное выражение со следующей конкретной формой лагранжиана,

С б ты л к "=" 1 2 ∫ г Д + 1 Икс − г [ ∑ я "=" 1 3 { ( ∂ ф ) 2 + м 2 ф я 2 } + б ф 1 ф 2 ф 3 ]

Нужно ли, чтобы приведенное выше выражение было истинным, нужно несколько полей/видов? Разве уравнение под выделенным курсивом вопросом не является общим выражением для любой скалярной теории поля в любом пространстве-времени?

  • Есть ли общий способ вывести такие пропагаторные уравнения для лагранжианов полей, которые отслеживают поведение на границе?
Я повторно отредактировал поле обратной косой черты как поле обратной косой черты (с заглавной буквы). Обратите внимание, что обратная косая черта также возможна. Кроме того, в большом уравнении была ошибка. Фигурные скобки — это не просто фигурные скобки, которым в TeX отведена особая роль. Они записываются в виде скобок обратной косой черты (как левой, так и правой).
@Lubos Спасибо за правки! Вы тоже можете ответить на вопрос? :)
Это взято из обзора МакГриви, он на самом деле объясняет, что решает классические уравнения для конкретного лагранжиана

Ответы (1)

Ваш первый вопрос - просто семантика; Я согласен с тем, что граница к массе более интуитивно понятна.

Уравнение под вашим выделенным курсивом вопросом является итеративным решением уравнений поля ф 3 Лагранжиан, в первом порядке по константе связи. В общем случае это будет зависеть от конкретной объемной теории. Например, если у вас был λ ф 4 взаимодействие, вы найдете

ф "=" ∫ г Икс К ф 0 + λ ∫ г г г Икс г ∫ г Икс 1 г Икс 2 г Икс 3 К 1 К 2 К 3 ф 1 0 ф 2 0 ф 3 0 + … ,
и так далее.

Причина, по которой нахождение классического решения уравнений поля полезно, заключается в том, что в квазиклассическом пределе объемный интеграл по путям с источником ф 0 включено можно записать как

Z [ ф 0 ] "=" ∫ г ф | ф ( г "=" ϵ ) "=" ϵ г − Δ ф 0 опыт ⁡ ( − С [ ф ] ) ∼ опыт ⁡ ( − С [ ф кл ] ) ,
где ф кл является продолжением ф 0 к решению уравнений объемного поля, регулярному на горизонте. Дифференцируя обе стороны относительно ф 0 затем оценивает диаграммы Фейнмана на уровне дерева теории границ.

Я думаю, что обозначение г Δ я предназначен для того, чтобы показать, что г зависит от масс полей (и, следовательно, от дуальных размерностей объемных операторов). Его предельное поведение видно из следующего написанного вами уравнения, которое, в свою очередь, следует из теоремы Стокса.

Я вижу итеративный характер решений, но это только интуитивно. Существует ли чистый вывод разложения в духе вывода диаграмм Фейнмана? В диаграммах Фейнмана ситуация намного чище, поскольку там берется разложение для пропагаторов (а не полей, как здесь!) и пропагаторы определяются как производные статистической суммы, которая имеет естественный вид степенного ряда. Я не вижу эту структуру в AdS/CFT. Может я что-то упускаю!
Я немного уточнил свой ответ, надеюсь, это поможет.
Вы начинаете с написания уравнений движения, скажем ( ◻ + м 2 ) ф "=" г ф 2 для г ф 3 / 3 потенциал. Затем вы формально расширяете решение в связке г , ф "=" ф 0 + г ф 1 + . . решить линеаризованные уравнения ( ◻ + м 2 ) ф 0 "=" 0 к ф 0 "=" К ф ¯ , ф ¯ это граничные данные. Тогда к порядку г ты ищешь ( ◻ + м 2 ) ф 1 "=" ф 0 2 , следовательно ф 1 "=" г ф 0 ф 0 "=" г К ф ¯ К ф ¯ , поэтому мы восстанавливаем формулу, которую вы написали в вопросе
Вывод основного уравнения для диаграмм Виттена
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v