Калибровочная инвариантность для наблюдаемых электромагнитного потенциала в форме тестовой функции

Это справочный запрос на взаимосвязь в квантовой теории поля между электромагнитным потенциалом и электромагнитным полем, когда они представлены в форме тестовой функции.$U(1)$Калибровочная инвариантность становится особенно простым ограничением на тестовые функции для операторов размазанного электромагнитного потенциала, чтобы они были калибровочно-инвариантными наблюдаемыми. Это такое простое ограничение, что я думаю, что оно должно быть там, но я никогда не видел его в учебниках или в литературе, предположительно потому, что мы в основном не работаем с тестовыми функциональными пространствами в КТП; вместо этого мы используем распределения с операторными значениями напрямую, где, однако, фиксация калибровки доставляет постоянные неудобства.

Для операторнозначного распределения электромагнитного потенциала, размытого тестовой функцией$f^\rho(x)$на пространстве Минковского,$\hat A_f=\int_M \hat A_\rho(x)f^{\rho*}(x)\mathrm{d}^4x$, чтобы быть наблюдаемой, инвариантной относительно$U(1)$калибровочные преобразования$\hat A_\rho(x)\rightarrow\hat A_\rho(x)-\partial_\rho\alpha(x)$, мы требуем, чтобы$\int_M \partial_\rho\alpha(x)f^{\rho*}(x)\mathrm{d}^4x$должен быть равен нулю для всех скалярных функций$\alpha(x)$.

Интегрирование по частям по области$\Omega$в пространстве Минковского получаем в терминах дифференциальных форм

$$\int_\Omega d\alpha\wedge(\star f^*)=\int_{\partial\Omega}\alpha\wedge(\star f^*)-\int_\Omega \alpha\wedge(d\!\star\! f^*),$$ который будет равен нулю для достаточно больших $\Omega$, а значит, и для всего пространства Минковского, для любой гладкой пробной функции $f^\rho(x)$с компактным носителем и бездивергентным, $d\!\star\! f=0$. [Если мы ограничим функцию калибровочного преобразования $\alpha(x)$не расти быстрее, чем полиномиально, с увеличением расстояния в любом направлении, этого будет достаточно для тестовой функции $f^\rho(x)$быть шварцевым и бездивергентным.]

Итак, мы доказали:

Теорема: Размазанный электромагнитный потенциал$\hat A_f$это$U(1)$калибровочный инвариант наблюдаем, если тестовая функция$f^\rho(x)$гладкой, компактной и бездивергентной.

Бездивергентное условие на$f^\rho(x)$гарантирует, что коммутатор для операторов рождения и уничтожения, связанных с электромагнитным потенциалом$\hat A_f=\mathbf{\scriptstyle a}^{\,}_{f^*}+\mathbf{\scriptstyle a}^{\dagger}_f$,

$$[\mathbf{\scriptstyle a}^{\,}_f,\mathbf{\scriptstyle a}^\dagger_g]=-\hbar\int \tilde f^*_\rho(k)\tilde g^\rho(k)2\pi\delta(k_\nu k^\nu)\theta(k_0)\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4},$$ положительно полуопределенно (что необходимо для построения вакуумного секторного гильбертова пространства), и это потому, что $\delta f=\delta g=0$мы можем построить в пространстве Минковского $f=\delta F$, $g=\delta G$, куда $F$а также $G$- бивекторные потенциалы для тестовых функций электромагнитного потенциала $f$а также $g$.

С точки зрения$F$а также$G$, мы можем написать$a^{\,}_F=\mathbf{\scriptstyle a}^{\,}_{\delta F}$,$a_G^\dagger=\mathbf{\scriptstyle a}^\dagger_{\delta G}$, которые удовлетворяют коммутатору электромагнитного поля

$$[a^{\,}_F,a_G^\dagger]=-\hbar\int k^\alpha\tilde F_{\alpha\mu}^*(k) k^\beta\tilde G_\beta{}^\mu(k)2\pi\delta(k_\nu k^\nu)\theta(k_0)\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}.$$ Следовательно, изменив обычное соотношение, поскольку мы работаем с пробными функциями, а не непосредственно с квантовыми полями, мы можем рассматривать пробные функции для электромагнитного поля как потенциалы для пробных функций для электромагнитного потенциала.

Из-за ограничения, заключающегося в том, что тестовые функции электромагнитного потенциала должны иметь компактную поддержку (или что калибровочные преобразования должны быть ограничены, если тестовые функции электромагнитного потенциала принимаются как функции Шварца), наблюдаемые электромагнитного потенциала являются менее общими, чем наблюдаемые электромагнитного поля, если берутся тестовые функции электромагнитного поля. быть шварцевым (как это чаще всего предполагается) или эквивалентным, если тестовые функции электромагнитного поля считаются гладкими и имеют компактный носитель.

Итак, ссылки?

РЕДАКТИРОВАТЬ (24 октября 2011 г.): принимая во внимание ответ от пользователя 388027 и мой комментарий, будет приветствоваться достойная ссылка на то, какие ограничения обычно налагаются на калибровочные преобразования. Я особенно надеюсь на обоснование ограничений с любой теоретической точки зрения, взятой ссылкой.