Как обосновать взаимодействие материи и поля для некалибровочно-инвариантного гамильтониана?

Я нашел это интересным, потому что, по крайней мере, с педагогической точки зрения люди будут записывать дальнодействующие электронные взаимодействия, которые полностью нарушают калибровочную инвариантность. Я имею в виду, что мы все видели, как кто-то записывает «общее четырехточечное взаимодействие»:

$$\int\psi(1)\psi(2)\bar{\psi}(3)\bar{\psi}(4)V(1,2,3,4)$$ . Это нарушает калибровочную инвариантность, что обычно ужасно, но часто это не приводит к какой-либо очевидной проблеме. Почему это? Меня это раньше беспокоило.

Чтобы вернуться конкретно к вашему вопросу, сначала перепишем в реальном пространстве:

$$\int\Delta(r)U(r,r')\bar{\Delta}(r')$$ где $\Delta = c_{\uparrow}c_{\downarrow}$имеет $U(1)$заряжать $2$. Это не калибровочный инвариант, если только $U$правильно трансформируется. Итак, мы начали с калибровочно-инвариантной системы на каком-то уровне, так что мы должны были прийти к этому моменту, «интегрируя» некоторые заряженные степени свободы. В этом простейшем сценарии мы использовали теорию возмущений второго порядка и $U$просто некоторый коррелятор: $$U(r,r';A) = \langle O(r)\bar{O}(r') \rangle_{A}$$

где$O$имеет правильный заряд. Или это может быть что-то более сложное, детали не имеют значения. Я прямо отметил, что этот коррелятор должен зависеть от калибровочного поля$A$. Это неудивительно, поскольку$U$измеряет заряд, высвобождаемый в$r$и уничтожен в$r'$- вне зависимости от деталей должны быть фазы Аранова-Бома. Именно эта зависимость$U$на$A$которая поддерживает калибровочную инвариантность, более ясную ниже.

Существует своего рода рецепт минимальной связи для$U$:

$$U(r_1,r_2;A) = \int \mathcal{DP}\exp(i\!\int_{r_1}^{r_2}\!\!\!\!A(r')\cdot dr')$$

где$\mathcal{DP}$— некоторая мера на пространстве путей из$r_1$к$r_2$, и эта мера не зависит$A$. Это минимально в том смысле, что оно минимально, и в том смысле, что если вы расширите$U$как многочлен от производных вы восстанавливаете обычный рецепт минимальной связи. Вы можете видеть, что это имеет свойства правильного калибровочного преобразования. В особом случае, когда движение по существу квазиклассическое, вы просто конечная сумма по линиям Вильсона.

Итак, вот как должно быть записано это взаимодействие, теперь реальный вопрос заключается в том, когда мы можем игнорировать все это, поскольку мы, конечно же, не хотим оценивать некоторую меру интеграла по путям в атомном масштабе, когда мы едва можем оценить энергии одиночных взаимодействий в атомном масштабе. атомный масштаб. Сейчас нарушение калибровочной инвариантности приводит к ужасным вещам, напоминать нечего. Но ясно, что есть смысл, где, если$U(r,r')$имеет небольшой радиус действия, и если мы исследуем с очень большой длиной волны, то мы не должны знать, что это не дельта-функция, и, следовательно, мы не должны знать, что она нарушает калибровочную инвариантность.

Это не совсем правильно: если мы следуем нашему рецепту «минимальной связи», мы понимаем, что нам нужно не то, чтобы расстояние между$r$и$r'$невелик, но что регион, изучаемый большей частью путей в$\mathcal{DP}$маленький. Это имеет смысл, так как вопрос исходит из фаз Аранова Бома. Не поможет, если$r$и$r'$близки, если мы попадаем между ними, путешествуя по окольным путям, чрезвычайно чувствительным к калибровочным полям. Таким образом, правильный критерий состоит в том, что если магнитный поток, пронизывающий область с путями, намного меньше кванта потока, то мы можем «выпрямить» все пути в нашем интеграле по путям и просто записать его как:

$$U(r_1,r_2; A) \approx \tilde{U}(r_1,r_2)\exp(i\int_{r_1}^{r_2}\!\!\!A(r')dr')$$

где интеграл берется по любому пути в выбранной нами области. Обратите внимание, что это приближение является калибровочно-инвариантным, поскольку ошибка зависит от магнитного поля, и это настолько простой калибровочный инвариант, насколько это возможно. Теперь, с точки зрения линейного отклика, в этот момент можно было просто подключить внешнее поле и решить, достаточно ли оно мало, чтобы его можно было игнорировать. Или можно было просто примириться с линией Вильсона и продолжить.

Если вы хотели действовать более широко, но все же хотели игнорировать эту линию Уилсона, вы можете это делать, пока ограничиваете себя достаточно гладкой колеей. Если вы находитесь в манометре, где$A$существенно не меняется в диапазоне$U$затем$\int_{r_1}^{r_2}\!\!\!A(r')\cdot dr' \approx A\cdot(r_2 - r_1)$. И дело в том, что это приближенно чисто калибровочное: оно соответствует калибровочному преобразованию с полем$\chi = A(r)\cdot r$. Таким образом, мы можем по существу игнорировать его.

Чтобы иметь гладкую колею, нужно иметь

• Медленно меняющиеся поля
• Небольшое магнитное поле.

которые являются довольно интуитивными физическими требованиями. И тогда дополнительно мы не должны вводить быстро меняющиеся калибровочные преобразования. Таким образом, один из способов думать обо всем этом состоит в том, что мы можем манипулировать такими явно не калибровочными инвариантными выражениями, потому что мы на самом деле зафиксировали высокочастотные моды калибровочного поля. Наверное, можно было бы подумать и без всей этой работы, но такова жизнь.