Диффеоморфизмы и граничные условия

Я пытаюсь выяснить, как авторы этой статьи ( arXiv:0809.4266 ) обнаружили общую форму диффеоморфизма, сохраняющего граничные условия в той же статье.

Я нашел эту статью ( arXiv:1007.1031 ), в которой говорится, что, решив л ξ г мю ν , для компонентов и приравнивая каждый компонент к соответствующему граничному условию, я могу получить самое общее ξ (в конце концов, это моя цель).

Поэтому я взял метрику окологоризонтального экстремального Керра (NHEK), которая имеет 6 неисчезающих членов ( г т ф "=" г ф т так что мне нужно решить 5 уравнений), я ставлю граничные условия ( О ( р н ) термины), и, чтобы немного упростить вещи, я набрал все в Mathematica. Но когда я вставил свои 5 дифференциальных уравнений, я получил ошибку, что у меня слишком много уравнений и слишком мало переменных ( т , р , θ , ф )!

Теперь я подумал, должен ли я включать все возможные г мю ν ? Что ж, в этом не было бы особого смысла, поскольку все остальные члены фоновой метрики равны нулю, верно? И даже если я их включу, я получу больше уравнений, и все равно только 4 переменных :\ Так что Mathematica, вероятно, выдаст ту же ошибку...

Итак, во-первых, правильно ли я пытаюсь найти диффеоморфизм таким образом? И если я прав, как это решить?! Это большая система ОДУ, и ее не так просто решить, учитывая, как выглядит метрика :\

Так что, если у вас есть какие-либо предложения, я был бы признателен за это...

Опубликовано на math.stackexchange.com/q/289891/11127
Связанный вопрос от OP: physics.stackexchange.com/q/45723/2451
Я разместил это на math.stackexchange, потому что не нашел здесь ответа...

Ответы (1)

Самая трудная часть состоит в том, чтобы в первую очередь фактически получить набор согласованных граничных условий — для этого требуется сочетание обоснованных предположений, физических знаний, предыдущего опыта решения связанных проблем, подробных расчетов и метода проб и ошибок. Одним словом, это некое искусство.

Однако, как только у вас есть набор граничных условий (как в вашем случае граничных условий NHEK), все становится довольно просто.

Обозначим асимптотическую фоновую метрику через г и зависящие от состояния флуктуации на час , так что любая метрика вида г + О ( час ) допускается граничными условиями.

Ваша цель — проверить, какие калибровочные преобразования сохраняют ваши граничные условия. В чистой гравитации это должны быть некоторые диффеоморфизмы, порожденные некоторым векторным полем ξ , такой, что

л ξ ( г + час ) "=" О ( час )
где л ξ является производной Ли. Поскольку это уравнение для симметричного тензора в Д размеры, которые вы получаете Д ( Д + 1 ) / 2 независимые линейные УЧП первого порядка для векторного поля ξ .

Если вы попытались решить приведенное выше уравнение, вы поступили правильно, что, надеюсь, ответило на часть вашего вопроса. Позвольте мне теперь обратиться к другой части, а именно к тому, как решать эти УЧП.

Во многих примерах вы можете решить для самого общего векторного поля ξ совместим с приведенным выше условием, просто угадав подходящий анзац, а затем показав, что он работает.

В большинстве приложений у вас есть разложение в ряд асимптотической метрики по степеням некоторой радиальной координаты. р (или в экспонентах от р , зависит от выбора датчика для радиальной координаты).

Чтобы уменьшить беспорядок, позвольте мне предположить, что различные компоненты тензора г и час выражаются в некоторых рядах Лорана р , и что р → ∞ соответствует асимптотической границе.

Затем вы просто делаете такой же степенной ряд Ansatz для векторного поля. ξ . Как правило, все компоненты векторного поля начинаются с О ( 1 ) или меньше, но это не обязательно. Если совсем не в курсе, то просто сделай анзац

ξ 0 "=" р н 0 ( ξ 0 0 + ξ 1 0 / р + . . . )
где функции коэффициента ξ я 0 могут зависеть от всех граничных координат априори. Вы делаете аналогичный анзац для всех остальных компонентов векторного поля.

Оценка условий из вариации Ли затем определяет показатели степени н я и может накладывать ограничения на функции ξ Дж я .

См., например, упражнение (17.1) в упражнениях недели 7 на моей обучающей веб-странице http://quark.itp.tuwien.ac.at/~grumil/teaching.shtml для ознакомления со стандартным AdS. 3 пример. Если вы никогда раньше не выполняли такого рода расчеты, я рекомендую вам начать с этого примера, прежде чем нарушать NHEK.

[Кстати, я никогда не пытался реализовать этот алгоритм в Mathematica, так как я обычно работаю в трех измерениях, где расчет вручную выполняется довольно быстро, но я не вижу причин, по которым он не должен работать в Mathematica.]

Спасибо за подробный ответ! :) Я буду работать над этой проблемой в своей магистерской диссертации, и я попытался получить результаты А г С 3 метрика, которую я нашел в Интернете, применив граничные условия Брауна-Энно, но у меня не было много времени, чтобы пройти ее, так как у меня были другие экзамены, и я работал на семинаре, но я обязательно попытайтесь решить это, прежде чем начинать с NHEK. Еще раз спасибо, что направили меня в правильном направлении :)
Привет, я пытаюсь решить проблему, которую вы указали, в ваших упражнениях, но я не думаю, что делаю это правильно. Во-первых, я, кажется, не знаю, где это О ( 1 ) получается при вычислении производной Ли компонента ++. Конечно, я понимаю, где я получаю 2 г + − ∂ + ξ − , это прямо вперед, но тогда О ( 1 ) появляется :\ Плюс, если я различаю ξ − разве я не получил бы третью производную от ε + ( Икс + ) ? Есть ли литература или решенные упражнения, которые я мог бы увидеть? Это бы очень помогло...
Существуют различные О ( 1 ) вклады в компонент ++ производной Ли - например, первый член ξ мю ∂ мю г + + "=" О ( 1 ) . Возможно, я не понимаю ваш вопрос в комментарии — вы можете написать мне по электронной почте, если хотите, так как я не слишком часто проверяю обмен физикой. Кстати, член третьей производной появляется в следующем упражнении (17.2), но он не играет никакой важной роли для граничного условия, сохраняющего калибровочные преобразования.
Диффеоморфизмы и граничные условия
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v