Получение диффеоморфизмов из граничных условий в AdS3AdS3AdS_3

Как обычно, я задаю вопрос о граничных условиях для AdS 3 , основанный на диссертации Порфириадиса.

Он решает уравнения л ξ г мю ν для рекламы 3 метрика с заданными граничными условиями, которые в основном являются условиями спада в р , так как нас интересует асимптотическое поведение (как р → ∞ ). Наконец-то я добрался до той части, где он, используя анзац для обозначения диффеоморфизма ξ мю "=" ∑ н ξ н мю ( т , ф ) р н ( мю "=" т , р , ф ), получает набор из 6 уравнений для коэффициентов. Я напишу компонент метрики, который использовался для получения уравнения рядом с уравнением, для пояснения:

( т т ) ξ н − 1 р + л 2 ξ н , т т + ξ н − 2 , т т "=" 0 ,   н ≥ 2
( т р ) л 4 ( н + 1 ) ξ н + 1 т − л 4 ξ н , т р + 3 л 2 ( н − 1 ) ξ н − 1 т + 2 ( н − 3 ) ξ н − 3 т "=" 0 ,   н ≥ 3
( т ф ) л 2 ξ н , ф т + ξ н − 2 , ф т − л 2 ξ н − 2 , т ф "=" 0 ,   н ≥ 1
( р р ) л 2 ( н + 1 ) ξ н + 1 р + ( н − 2 ) ξ н − 1 р "=" 0 ,   н ≥ 2
( р ф ) л 2 ( н + 1 ) ξ н + 1 р + ( н − 3 ) ξ н − 3 ф + л 2 ξ н , ф р "=" 0 ,   н ≥ 3
( ф ф ) ξ н − 1 р + ξ н − 2 , ф ф "=" 0 ,   н ≥ 2

Я понял это, и я понимаю, как это понял автор. Но как он нашел ξ р ,   ξ т , и ξ ф я не понимаю :\

Он сказал: ибо( р р ) уравнение по обратной индукции, так как при больших н серия для ξ р должны усекаться, мы получаем, что компоненты ξ 2 м р "=" 0 ,   м ≥ 1 , и ξ 2 м + 1 р "=" 0 ,   м ≥ 1 , поэтому наиболее общая форма ξ р является

ξ р "=" ξ 1 р ( т , ф ) р + ξ 0 р ( т , ф ) + О ( р − 1 ) ( ⋆ )

Как он это получил? Я имею в виду, что я пытался положить от n = 10 к n = 2, и для n = 2 я получаю

3 л 2 ξ 3 р + 0 ⋅ ξ 1 р "=" 0

А это значит, что при n=четном мои нечетные члены равны 0, если н ≥ 2 ?

Я мог бы как бы связать это с тем фактом, что ξ р "=" ∑ н ξ н р р н , а для n = 2 я получу 0, поэтому вклад будут вносить только n, которые меньше этого, поскольку я делаю расширение вокруг бесконечности. Но я не знаю, прав ли я в этом. А как он составлял другие уравнения? Я пытался использовать ту же «аргументацию», но не смог получить то, что получил он. В уравнениях ( т р ) и ( р ф ) он просто падает ξ н р условия. Почему? :\ И вдруг он получает

ξ т "=" ξ 0 т ( т , ф ) + ξ − 1 т ( т , ф ) 1 р + О ( р − 2 )
ξ ф "=" ξ 0 ф ( т , ф ) + ξ − 1 ф ( т , ф ) 1 р + О ( р − 2 )

Как?! :( Я в отчаянии :(

Это может быть актуально: Гленн Барнич: 2016 Лекции по симметрии BMS .

Ответы (1)

Итак, для этой части вам нужно просто взглянуть на три уравнения:

( р р ) л 2 ( н + 1 ) ξ н + 1 р + ( н − 2 ) ξ н − 1 р "=" 0 ,   н ≥ 2
( р ф ) л 2 ( н + 1 ) ξ н + 1 р + ( н − 3 ) ξ н − 3 ф + л 2 ξ н , ф р "=" 0 ,   н ≥ 3
( т р ) л 4 ( н + 1 ) ξ н + 1 т − л 4 ξ н , т р + 3 л 2 ( н − 1 ) ξ н − 1 т + 2 ( н − 3 ) ξ н − 3 т "=" 0 ,   н ≥ 3

Начнем с первого:

( р р ) л 2 ( н + 1 ) ξ н + 1 р + ( н − 2 ) ξ н − 1 р "=" 0 ,   н ≥ 2.
Парень предполагает, что у вас больше нет ненулевых значений. ξ н мю для сколь угодно большого н . Другими словами, должно быть какое-то Н так что ξ м мю "=" 0 для м > Н . Теперь предположим, что этот верхний предел Н всего 10.

Затем, глядя на ( р р ) уравнение для н "=" 11 , мы находим, что левый член на LHS должен быть равен нулю из-за верхнего предела. Таким образом, правый член и, таким образом, ξ 10 р должен быть равен нулю. Аналогично, случай н "=" 10 говорит нам ξ 9 р равен нулю.

Теперь мы можем рассмотреть н "=" 9 , мы снова находим, что первый член равен нулю, потому что мы уже установили, что ξ 10 р равен нулю. Мы продолжаем делать это вплоть до включительно н "=" 3 . Мы находим, что ξ м р равен нулю для м ≥ 2 , и так ξ р "=" ξ 1 р р + ξ 0 р + . . . . Мы пришли бы к такому выводу независимо от того, насколько Н был.

Хорошо. Что насчет ( р ф ) уравнение? Это

( р ф ) л 2 ( н + 1 ) ξ н + 1 р + ( н − 3 ) ξ н − 3 ф + л 2 ξ н , ф р "=" 0 ,   н ≥ 3
Мы уже показали, что ξ н + 1 р и ξ н р равны нулю для н ≥ 2 , а так как это уравнение применимо только к н ≥ 3 , мы можем опустить эти термины. Тогда уравнение становится
( р ф ) ( н − 3 ) ξ н − 3 ф "=" 0 ,   н ≥ 3
Теперь, рассматривая это уравнение для н ≥ 4 , мы находим, что ξ м ф "=" 0 для м ≥ 1 , и так ξ ф "=" ξ 0 ф + ξ − 1 ф / р + . . . .

Наконец, давайте рассмотрим ( т р ) уравнение:

( т р ) л 4 ( н + 1 ) ξ н + 1 т − л 4 ξ н , т р + 3 л 2 ( н − 1 ) ξ н − 1 т + 2 ( н − 3 ) ξ н − 3 т "=" 0 ,   н ≥ 3
Поскольку уравнение применимо только для н ≥ 3 , и мы знаем ξ н р "=" 0 для н ≥ 3 , мы можем просто игнорировать этот термин. Уравнение становится
( т р ) л 4 ( н + 1 ) ξ н + 1 т + 3 л 2 ( н − 1 ) ξ н − 1 т + 2 ( н − 3 ) ξ н − 3 т "=" 0 ,   н ≥ 3.
Давайте снова предположим Н "=" 10 , и рассмотрим уравнение для н "=" 13 . Тогда два крайних левых члена исчезают, и мы остаемся с ξ 10 т "=" 0 . Продолжая н "=" 12 , н "=" 11 , вплоть до н "=" 4 говорит нам, что ξ м т "=" 0 для м ≥ 1 , и так ξ т "=" ξ 0 т + ξ − 1 т / р + . . . .

Я думаю, что это были части, которые вы не получили. Обратите внимание, что мы не использовали три уравнения. Следующее, что делает парень, это выжимает дополнительную информацию из этих уравнений, но я не думаю, что это был ваш вопрос. Если у вас есть вопросы по моему ответу, обязательно задавайте.

поэтому я выбираю число (скажем, n=5) и ввожу его в уравнения, пока не получу уравнение, которое даст мне 0 ⋅ ξ н мю где n - это число, которое я получил из 5. Потом смотрю, какой коэффициент рядом с этим 0 ⋅ ξ н мю (в случае ( р р ) уравнение это было ξ 1 р , а в случае ( р ф ) уравнение это было ξ 0 ф ), и сказать, что только ненулевой вклад от этого коэффициента ниже в расширении? Я правильно понимаю?
да это правильно.
Спасибо, вы снова меня спасли xD Мне нужно понять, как они это получают, чтобы я мог использовать это в случае 4D с экстремальной метрикой Керра для ближнего горизонта, которая более сложна, и у меня есть система из 10 уравнений, подобных этой. Надеюсь, мне удастся воспроизвести их результат. Еще раз спасибо :)
Получение диффеоморфизмов из граничных условий в AdS3AdS3AdS_3
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v