Доказательство ∮dQT=0∮dQT=0\oint \frac{dQ}{T}=0 в обратимом процессе

Используя первый закон термодинамики,

$$\begin{align} \mathrm dQ & = \mathrm dU +\mathrm dW\\ \mathrm dQ &= n C_V \mathrm dT + P \mathrm dV\\ \frac{\mathrm dQ}{T}&=n C_V \frac{\mathrm dT}{T} + \frac{P}{T} \mathrm dV \end{align}$$

Поскольку рассматриваемый газ является идеальным газом, мы можем применить уравнение состояния,$PV=nRT$, заменить$P/T=nR/V$. Подставляя это в приведенные выше уравнения,

$$\begin{align} \frac{\mathrm dQ}{T}&=n C_V \frac{\mathrm dT}{T} + \frac{nR}{V} \mathrm dV\\ \oint \frac{\mathrm dQ}{T}&=n C_V \oint \frac{\mathrm dT}{T} + nR \oint\frac{\mathrm d V}{V}\\ \oint \frac{\mathrm dQ}{T}&=nC_V \ln T \biggr |_T ^T + nR \ln V \biggr |_V ^V\\ \oint \frac{\mathrm d Q }{T} &=0 \end{align}$$

Из первого закона термодинамики не следует, что$dQ,dU,dW$являются дифференциалами для интегрирования.

Это не обязательно должен быть идеальный газ, достаточно лишь предположить, что интегралы в смысле Римана существуют, а некоторые функции абсолютно непрерывны. позволять$\epsilon , a >0$,

$T_{n}>T_{n-1}>a,|T_{n}-T_{n-1}| < \epsilon$

Используя первый закон термодинамики,

$$\begin{align} \mathrm Q_2-Q_1 & = \mathrm U_2 - U_1 +\mathrm W_2 - W_1\\ \mathrm \int_{Q_{n-1}}^{Q_n} dQ &= \int_{T_{n-1}}^{T_n} m C_V \mathrm dT + \int_{V_{n-1}}^{V_n} P \mathrm dV\\ \sum_{n=1}^{n=N} \frac{1}{T_{n-1}}\mathrm \int_{Q_{n-1}}^{Q_n} dQ &=\sum_{n=1}^{n=N}\frac{m}{T_{n-1}} \int_{T_{n-1}}^{T_n} C_V \mathrm dT + \sum_{n=1}^{n=N}\frac{1}{T_{n-1}}\int_{V_{n-1}}^{V_n} P \mathrm dV\\ \end{align}$$

Из-за следующих неравенств:

$$|\frac{1}{T_{n-1}}\int_{Q_{n-1}}^{Q_n} dQ-\int_{Q_{n-1}}^{Q_n} \frac{1}{T} dQ| \le \int_{Q_{n-1}}^{Q_n} |\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{n-1}}| dQ \le \int_{Q_{n-1}}^{Q_n} \frac{\epsilon}{a^2} dQ$$

$$|\frac{1}{T_{n-1}}\int_{T_{n-1}}^{T_n} C_VdT-\int_{T_{n-1}}^{T_n} \frac{1}{T} C_VdT| \le \int_{T_{n-1}}^{T_n} |\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{n-1}}| C_VdT \le \int_{T_{n-1}}^{T_n} \frac{\epsilon}{a^2} C_VdT$$

$$|\frac{1}{V_{n-1}}\int_{V_{n-1}}^{V_n} PdV-\int_{V_{n-1}}^{V_n} \frac{1}{T} PdV| \le \int_{V_{n-1}}^{V_n} |\frac{1}{T}-\frac{1}{V_{n-1}}| PdV \le \int_{V_{n-1}}^{V_n} \frac{\epsilon}{a^2} PdV$$

сдача$\epsilon \to 0$у нас есть

$$\int \frac{1}{T} dQ=m\int \frac{1}{T} C_VdT+\int \frac{1}{T} PdV$$

$$\frac{df}{dQ}=\frac{1}{T}$$

$$\frac{dg}{dT}=\frac{C_V}{T}$$

$$\frac{dh}{dV}=\frac{P}{T}$$

если$f,g,h$абсолютно непрерывны, то

$$\oint \frac{1}{T} dQ=m\oint \frac{1}{T} C_VdT+\oint \frac{1}{T} PdV=0$$