Доказательство длины волны де Бройля для электрона

Де Бройль предположил, что отношение$p=h/\lambda$справедливо не только для фотонов, но и для массивных частиц. Это вдохновило Шредингера на предложение его знаменитого уравнения.

The $c$в$mc^2$не является фактической скоростью частицы (если мы не говорим о свете, но тогда m было бы равно нулю).$mc^2$это просто энергия частицы в состоянии покоя. Я точно не знаю, как это сделал де Бройль, но доказать это можно так:

Сначала вы можете доказать, что оператор импульса должен быть$\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}$путем нахождения генератора оператора перевода квантово-механическим способом (что дает вам что-то вроде$\frac{d}{dx}$в качестве генератора) и классическим способом (который дает вам импульс в качестве генератора), и просто заявите, что оба результата должны быть эквивалентны. Если это звучит незнакомо, то я предлагаю вам изучить теорему Нётер (это одна из самых крутых теорем в математике/физике, так что я бы предложил ее в любом случае). Но если вы согласны просто предположить, что оператор импульса равен$\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}$, то вы можете просто начать оттуда.

С использованием$p = \frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}$и предположении, что частицы имеют волновую природу, можно доказать, что$p = \frac{h}{λ}$. Поскольку в общем случае мы можем записать волновую функцию данного состояния частицы как:$Ψ(x,t) = Ψ_0 e^{i(kx-ωt)}$, что дает нам:$pΨ = \frac{\hbar}{i}\frac{dΨ}{dx} = \hbar k Ψ$, так$p = \hbar k = h/λ$.

Вы можете сделать то же самое, чтобы доказать теорему Планка, сначала найдя генератор переноса времени и доказав, что оператор энергии должен быть$i \hbar \frac{d}{dt}$, а затем позволить этому оператору воздействовать на$Ψ$снова.

NB: В самом общем случае$Ψ(x,t)$должна представлять собой суперпозицию волновых функций с различными$Ψ_0$,$k$и/или$ω$, но тогда вы уже не можете быть уверены, каков импульс вашей частицы.

«Доказательство» по этому вопросу неверно, поскольку утверждает, что энергия волны материи равна$E=mv^2$, что вдвое больше, чем на самом деле.

Здесь я собираюсь продемонстрировать нерелятивистский случай. Для релятивистского случая нельзя доказать гипотезу де Бройля, она должна быть постулатом, как и гипотеза Планка. На самом деле в релятивистской КМ постулат выражен в виде четырехвектора:$p^\mu = \hbar k^\mu$, где$p^\mu=(E/c, \mathbf{p})$является четырехимпульсным и$k^\mu = (\omega/c, \mathbf{k})$является волновым четырехвектором.

Групповая скорость для любой волны равна:

Так как групповая скорость соответствует реальной скорости волнового пакета, то