Доказательство неортогональности E и H полей электромагнитной волны в некоторых материалах?

Взгляните на уравнения Максвелла (версия для случая, когда свет находится в материи). Вы заметите, что закон Фарадея относится$\vec{E}$к$\vec{B}$и закон Ампера относится$\vec{H}$к$\vec{D}$. Помните, что$\vec{B}$и$\vec{D}$- величины, включающие магнитную проницаемость материала,$\mu$, а диэлектрическая проницаемость$\epsilon$, соответственно. В свободном пространстве,$\mu$и$\epsilon$это просто числа. Но в целом материалы могут иметь необычные диэлектрические и магнитные характеристики, такие, что$\mu$и$\epsilon$должны быть описаны как тензоры , даже иногда с недиагональными элементами.

Что означает недиагональный элемент в этом контексте? Это означает, что, например, электрическое поле$\vec{E}$поляризованы в$x$направление может, вообще говоря, генерировать электрическое поле смещения$\vec{D}$который имеет компоненты в$x$,$y$, и$z$направления. При такой возможности пересмотрите еще раз закон Фарадея и закон Ампера, и вы увидите, что результирующее волновое уравнение может в целом допускать эти странные неортогональности.

Примечание: дополнительный материал добавлен внизу.

Насколько я могу судить, электрическое и магнитное поля всегда перпендикулярны (по крайней мере, в линейных средах, что, по-видимому, подразумевается вопросом). Однако в средах с потерями возможно, что направление распространения, определяемое направлением, перпендикулярным плоскости постоянной фазы, не будет перпендикулярно$\vec H$. Это показано на рисунке ниже, взятом из Stratton, Julius Adams, Electro Magnetic theory, McGraw-Hill (1941) .

На рисунке среда (2) является средой без потерь, а среда (1) — с потерями. Для падающего электрического поля вдоль$\hat y$, прошедшее поле в среде (1) имеет вид

$$\vec E_t(x,z)= \hat y E_{t0} e^{-p z} e^{-i (x\beta_2\sin\theta_2+qz)}$$ В среде (1) плоскости постоянной амплитуды ( $pz=$постоянная) не совпадают с плоскостями постоянной фазы, которые определяются $$\vec k_\psi\cdot \vec r=\hbox{constant}=qz+\beta_2 x \sin\theta_2\, .$$ Выражение для прошедшего магнитного поля имеет вид $$\vec H_t(x,z)=\frac{E_{t0}}{\omega\mu_0}\left(\hat x i(p+iq)+\hat z \beta_2\sin\theta_2\right)e^{-p z} e^{-i (x\beta_2\sin\theta_2+qz)}$$ и можно убедиться, что $\vec k_\psi\cdot \vec H_t\ne 0$.

Помимо Stratton, упомянутого выше, другим хорошим источником для этого является: US Inan, AS Inan and RK Said, Engineering Electro Magnetics and Waves, Pearson (2015)

---

Дополнительные элементы к моему исходному ответу

После некоторых исследований кажется, что$\vec E$и$\vec B$всегда перпендикулярны, по крайней мере, в средах без потерь, даже если материал электрически анизотропен. Об этом можно догадаться из

$$\vec\nabla\times \vec E= -\frac{\partial}{\partial t}\vec B\, .$$

В электрически-анизотропной, но магнитно-изотропной среде$\vec H$и$\vec B$параллельны, но$\vec D$не обязательно параллельно$\vec E$. Тем не менее пара$\vec D$и$\vec E$перпендикулярны$\vec B$или$\vec H$. Это показано на рисунке ниже, взятом из главы XIV

• Борн, Макс и Эмиль Вольф. Основы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света. Эльзевир, 2013.

На рисунке$\hat s$является направлением распространения в том смысле, что$\vec E\sim e^{i\omega \left(\frac{n}{c}(\vec r\cdot \vec s-t)\right)}$и аналогично для$\vec D, \vec H$и$\vec B$. Направление$\hat t=\vec S/\vert \vec S\vert$(несколько неудачный выбор символа) — это направление вектора Пойнтинга, то есть направление распространения энергии (которое не совпадает с направлением распространения).

В этой главе есть сноска, в которой говорится, часть которой гласит:

Существуют также магнитные кристаллы, но так как влияние намагниченности на оптические явления (быстрые колебания) мало, то магнитной анизотропией можно пренебречь.

Когда материал с потерями, мы возвращаемся к исходной части моего ответа.