Доказательство обобщенной теоремы о равнораспределении

Обобщенная теорема о равнораспределении выводится в разделе 6.4 знаменитой книги Хуанга «Статистическая механика » (1987 г., 2-е издание) .

Чтобы доказать «обобщенную теорему о равнораспределении», Хуанг использует микроканонический ансамбль, который является «стандартным» выбором для систем, которые можно рассматривать как изолированные (в том смысле, что энергия является константой движения). Этот «стандартный» выбор микроканонического как-то оправдывается, если мы считаем, что система эргодична, или если мы принимаем эргодическую гипотезу . Другими словами, для доказательства равнораспределения эргодичность может понадобиться только в качестве самого первого шага для обоснования использования микроканонического ансамбля в первую очередь, см., например, этот , этот и этот ответы. Нужна ли эргодичность?

Подчеркну, что Хуанг не прибегает к эргодической теореме для обоснования микроканонического ансамбля, хотя это и кажется нам нужным обоснованием: это обсуждается в разделе 4.5 той же книги. На самом деле еще один способ взглянуть на микроканонический ансамбль — это принцип безразличия , предложенный Джейнсом в «Информационной и статистической механике» , см. также этот и этот ответы. Аргумент Джейнса обеспечивает обоснование использования микроканонического ансамбля (а не его «реализма»), который является альтернативным (или дополнительным) к эргодической гипотезе.

Другими словами: если наша изолированная система эргодична, то микроканонический ансамбль (в принципе) может быть реализован, см., например, исторический обзор Галлавотти . Если мы не уверены в эргодичности системы, мы все равно можем использовать микроканонический ансамбль с помощью аргумента Джейнса, даже если он физически не реализован. Между теоремой о равнораспределении и эргодичностью, по-видимому, нет никакой другой связи, кроме этой, совершенно косвенной, связи. Я могу ошибаться, но мне кажется, что существует такая же (косвенная) связь между «эргодичностью» и любым возможным результатом, относящимся к состоянию равновесия, см., например, этот ответ .

Дж. А. С. Лима и А. Р. Пластино опубликовали статью «О классической теореме о равнораспределении энергии» еще в 1999 г. В своей статье они выводят обобщенную теорему о равнораспределении. Их обобщенный подход справедлив для систем с произвольными функциями распределения и для систем с неквадратичными членами в гамильтониане. Ссылка на их статью — https://doi.org/10.1590/S0103-97332000000100019 . Эта статья должна ответить на большинство ваших вопросов.

Их статью можно резюмировать следующим образом:

Предположим, что имеется система с$f$степеней свободы, а гамильтониан равен

$$\begin{equation} \mathcal{H} = g(x_1,...,x_L) + h. \end{equation}$$ $(x_1,...,x_L)$является подмножеством координат фазового пространства для положений и импульсов.$g$однородна такая, что

$$\begin{equation} g\left(\lambda x_{1}, \ldots, \lambda x_{L}\right)=\lambda^{r} g\left(x_{1}, \ldots, x_{L}\right). \end{equation}$$ Для систем, распределенных согласно распределению Больцмана, можно вывести выражение

$$\begin{equation} \langle g\rangle=\frac{L}{r} k_B T. \end{equation}$$ Здесь$k_B$постоянная Больцмана и$T$это температура. Это обобщенная форма теоремы о равнораспределении, которую вы ищете. Например, для одновалентного идеального газа имеем$r=2$и$L=3N$так что вы восстановите известный результат$U = \frac{3}{2}N k_B T$где U — внутренняя энергия газа.