Доказательство соотношения d4ξ=|g|−−√d4xd4ξ=|g|d4xd^4 \xi = \sqrt{|g|} \,\, d^4x переключение между локальными и неинерциальными координатами

Вы узнали в исчислении, что для изменения переменной$x\longrightarrow \bar x$у нас есть

$$d^nx=J\,d^n\bar{x}$$ где $$J=\left|\frac{\partial x}{\partial \bar{x}}\right|$$ Посмотрите на закон преобразования метрики при том же преобразовании координат: $$\bar{g}(\bar{x})=\left(\frac{\partial x}{\partial \bar{x}}\right)^Tg(x)\left(\frac{\partial x}{\partial \bar{x}}\right)$$ Взяв определитель, получим $$\bar{g}=gJ^2$$ Затем $$\sqrt{g}d^nx=J\sqrt{g}d^n\bar x=J\sqrt{\frac{\bar{g}}{J^2}}d^n\bar x=\sqrt{\bar{g}}d^n\bar x$$ Для плоской системы имеем $g=-1$. Вставьте отрицание, чтобы сделать корень (и) четко определенными. Таким образом $$d^n\xi=\sqrt{-g}d^nx$$

РЕДАКТИРОВАТЬ: пусть компоненты метрики будут$g_{ij}$.Обычное правило преобразования для (0,2) тензора:

$$\bar{g}_{ij}(\bar x)=g_{mn}(x)\frac{\partial x^m}{\partial\bar x^i}\frac{\partial x^n}{\partial\bar x^j}$$ Обозначим матрицу с компонентами $\partial x^m/\partial\bar x^i$к $K$.Затем $\bar{g}=K^T gK$. Мы должны использовать транспонирование, потому что $\partial x^m/\partial\bar x^i=K_{mi}$. Таким образом $$(K^TgK)_{ij}=(K^T)_{im}g_{mn}K_{nj}=g_{mn}K_{mi}N_{ni}=g_{mn}\frac{\partial x^m}{\partial\bar x^i}\frac{\partial x^n}{\partial\bar x^j}=\bar{g}_{ij}$$ Я не обращал особого внимания на размещение индекса.