Должно ли гильбертово пространство Вселенной быть бесконечномерным, чтобы квантовая механика имела смысл?

Должно ли гильбертово пространство Вселенной быть бесконечномерным, чтобы квантовая механика имела смысл? В противном случае декогеренция никогда не станет точной. Требует ли интерпретация квантовой механики точной декогеренции и совершенных наблюдателей, которые могут возникнуть только из точных секторов суперпозиции в асимптотическом пределе будущего?

Ответы (2)

При конечномерном гильбертовом пространстве теряется весь аппарат практической КМ. Осталось совсем немного — ни непрерывных спектров, ни теории рассеяния, ни S-матрицы, ни сечений. Ни уравнения Дирака, ни теории относительности, ни связи между симметрией и законами сохранения, ни квантовых полей. Были бы уничтожены почти все достижения современной физики.

Уже гильбертово пространство одной колебательной моды бесконечномерно, и Вселенная содержит их миллионы. К счастью, миллионы раз бесконечность все еще бесконечна, но...

Благодаря секторам суперотбора гильбертово пространство КЭД уже несепарабельно (т. е. имеет несчетную базу). Физическое гильбертово пространство квантовой теории поля представляет собой прямой интеграл гильбертовых пространств, соответствующих различным секторам суперотбора. Прямой интеграл математически хорошо определен, http://en.wikipedia.org/wiki/Direct_integral , и дает неразделимое пространство, когда интеграл проходит по континууму.

В КЭД это (по крайней мере) континуум направлений в трехмерном пространстве. Это несепарабельное пространство необходимо для определения преобразований Лоренца зарядовых состояний, поскольку заряженные состояния, движущиеся в разных направлениях, находятся в разных секторах суперотбора. Таким образом, размерность гильбертова пространства Вселенной должна быть не меньше мощности континуума.

Теперь КЭД описывает Вселенную без учета гравитации, слабых и сильных взаимодействий. К сожалению, очень мало известно о гильбертовом пространстве неабелевых калибровочных теорий и квантовой гравитации, поэтому не совсем ясно, какую мощность будет иметь гильбертово пространство Вселенной, когда мы узнаем, описывается ли Вселенная единицей.

С другой стороны, интерпретация квантовой механики не может зависеть от точных моделей, поскольку наши модели реального мира никогда не являются точными копиями последних.

Колебательный режим бесконечен только в том случае, если осциллятор распространяется на все пространство и на микроскопические расстояния. Если вы наложите космологическое ограничение на пространство и планковское ограничение, то вы получите конечную размерность гильбертова пространства. Несепарабельных гильбертовых пространств в квантовой механике нет никогда, даже с учетом секторов суперотбора. Это не совсем точно определено --- гильбертово пространство определяется сектором суперотбора за сектором суперотбора.
Осциллятор по определению связан с гамильтонианом, заданным на представлении CCR, что подразумевает бесконечные измерения. - Гильбертово пространство сепарабельно в каждом секторе, но калибровочные симметрии, полевые операторы и теория возмущений определяются только в прямом интеграле, который несепарабельен. Неясно даже, учитывает ли гамильтонова динамика секторы; отсутствие этого вполне может быть причиной того, что измерение пространства-времени 4 так трудно анализировать.
Я не согласен с этой идеей --- вопрос был о физике, и, конечно, CCR не работает, если вы представляете себе дискретное пространство. «Прямой интеграл» — это нечто, что определено немного расплывчато — вы говорите о проблемах инфракрасных фотонов — это не совсем разумно, хотя и не является явно неразумным. Но если это разумно, вы должны определить его явным пределом.
@RonMaimon: Да, вопрос был о физике, и если вы уберете представления осцилляторов из физики, останется совсем немного — ни непрерывных спектров, ни теории рассеяния, ни S-матрицы, ни поперечных сечений. Весь аппарат практического УК утерян. Конечномерные гильбертовы пространства просто охватывают квантовую теорию информации (еще не применимую в действительности) и спекуляции в некоторых теоретических кругах о возможной структуре квантовой теории гравитации.
@RonMaimon: прямой интеграл гильбертовых пространств математически хорошо определен, en.wikipedia.org/wiki/Direct_integral и дает неразделимое пространство, когда интеграл находится над континуумом. В КЭД это континуум направлений в трехмерном пространстве. Это несепарабельное пространство необходимо уже для определения преобразований Лоренца на зарядовых состояниях.
@ArnoldNeumaier: здесь я должен согласиться с Роном. Физически всегда есть отсечка — как вы сами намекаете, квантовая гравитация может обеспечить ее как в УФ, так и в ИК. CCR — хорошая модель реального осциллятора, но очевидно, что ни один физический осциллятор не может поддерживать неограниченную энергию без того, чтобы в него не вмешивалась какая-то другая физика. Что касается отсутствия декогеренции — аналогия: в статистической физике нарушение симметрии — красивая фикция, поскольку ни одна наблюдаемая система еще не является термодинамической; однако отклонения экспоненциально подавляются. Точно так же периодические орбиты могут быть экспоненциально большими.
@genneth: Дело в том, что вымыслы нужны, чтобы иметь возможность применять мощную математику, без которой ничего нельзя вычислить. Конечномерное гильбертово пространство также могло бы предоставить только модель, но в ней отсутствует вся структура, которая делает вещи вычислимыми, а, следовательно, мир предсказуемым.
@ArnoldNeumaier: это может быть аппроксимация бесконечномерного гильбертова пространства, и это должно соответствовать наблюдению. Единственная причина, по которой я не уверен, заключается в том, что конечномерные гильбертовы пространства аппроксимируют и определяют бесконечномерный предел для больших систем, и мы не можем измерить асимптотическую бесконечность. Конечно, это очень полезно для хороших результатов по математике.
@RonMaimon: По той же причине вы бы сказали, что вместо гильбертовых пространств следует рассматривать конечномерные векторные пространства над рациональными числами, и действительно, только конечные множества, поскольку даже рациональное векторное пространство является идеализацией. В моделировании нельзя избежать идеализации. Наилучшей идеализацией всегда является та, которая обеспечивает наиболее простой концептуальный и вычислительный доступ к имеющейся ситуации. Весь прогресс в физике был основан на таких концептуальных достижениях. Возвращение к пространствам с конечным числом d или даже к конечным множествам равносильно уничтожению всего этого.
@ArnoldNeumaier: я согласен и не защищаю это. Но физика, требующая конечного гильбертова пространства, — это голография с космологическими горизонтами конечной площади, и к этому нужно относиться серьезно, хотя это и совершенно парадоксально. Для моделирования КЭД (или безмассовых теорий вообще) в R ^ 4 вы можете быть правы, что правильный подход - это несепарабельные аналоги гильбертова пространства, я точно не знаю. Проблема в том, что если вы допускаете такие вещи, как конечная плотность частиц, вы можете получить невычислимые вычисления за бесконечное время, и поэтому S-матрица станет невычислимой.
@RonMaimon: Конечная плотность нужна только для тепловых систем, и тогда S-матрица перестает существовать в любой теории поля. Вместо этого нужно вычислить функции тепловой корреляции, которые после перенормировки совершенно точно определены.
@ArnoldNeumaier: Это если вы настроите тепловую систему, а не S-матрицу. Но если вы создадите бесконечное число частиц, расположенных особым образом, идущих из бесконечности, вы можете создать машину Тьюринга на промежуточных стадиях, и вы можете заставить ее взорваться, если вычисления остановятся, и S-матрица закодирует проблему остановки. решение. Это то, о чем я говорю, что затрудняет разговор о бесконечном количестве частиц.
Конечно, теоретически можно играть с этими вещами. Но у них пока нет приложений. И это не имеет отношения к заданному вопросу — как может быть бесконечно много частиц в конечномерном гильбертовом пространстве?
на «Прямой интеграл математически хорошо определен и дает неразделимое пространство, когда интеграл проходит по континууму». : Это неправильно, например л 2 ( р ) является отделимым.
@jjcale: Но л 2 ( р ) не является прямым интегралом нетривиальных гильбертовых пространств.
@Arnold Neumaier: я думаю, что прямой интеграл сепарабельных гильбертовых пространств снова сепарабельный. Например, если у вас есть унитарное представление локально компактной сепарабельной группы в сепарабельном гильбертовом пространстве, то это гильбертово пространство можно записать в виде прямого интеграла по неприводимым представлениям группы.
@jjcale: Но из-за предполагаемой отделимости мера этого прямого интеграла будет доказуемо дискретной. Таким образом, этот «интеграл» есть счетная прямая сумма, а не прямой интеграл в том смысле, в каком я использовал этот термин.
В то время как истинный прямой интеграл представлений главной серии SL (2) дает унитарное представление на несепарабельном гильбертовом пространстве.
@Arnold Neumaier: Возьмем группу Пуанкаре и гильбертово пространство из 2 частиц: это сепарабельное гильбертово пространство и непрерывный прямой интеграл по одночастичным пространствам, соответствующим движению центра масс. Или посмотрите на л 2 ( р 2 ) который представляет собой непрерывный прямой интеграл копий л 2 ( р ) .
@jjcale: Нет. Внутренние продукты очень разные.
Чтобы понять, что происходит, возьмем прямой интеграл по [0,12] непрерывного множества копий одномерного пространства и попробуем найти счетную основу!
@Arnold Neumaier: вы на неверном пути, см. planetmath.org/directintegralofhilbertspaces
@jjcale: Спасибо за предоставление явной ссылки. Я заметил, что перепутал понятия прямой суммы и прямого интеграла. В моих комментариях выше следует читать прямую сумму всякий раз, когда я писал прямой интеграл. Тогда комментарии имеют смысл.

Вселенная, вероятно, имеет бесконечномерное гильбертово пространство. Однако конечных размеров достаточно, чтобы «понять» квантовую механику. Или, по крайней мере, конечных размеров достаточно, чтобы обрести интуицию и выявить философские трудности различных интерпретаций квантовой механики. Кошка живет в очень многомерном (или бесконечном) гильбертовом пространстве, но суть парадокса кота Шрёдингера можно понять, просто рассматривая его как систему с двумя состояниями.

А конечные размеры достаточны для идеальной декогеренции. Примером является | + > ⊗ | 0 > состояние, подаваемое в управляемые ворота в контексте квантовых вычислений. Фактически, эта простая схема является довольно хорошей моделью для понимания роли наблюдателей (второй кубит «наблюдает» или копирует состояние первого кубита, тем самым вызывая декогерентность). О конечных измерениях намного легче думать. Вы, конечно, можете не захотеть думать о себе, как о наблюдателе, как о кубите, запутавшемся в объекте, который вы измеряете, но философы, вероятно, еще долго будут работать над этим.

В конечномерном гильбертовом пространстве нет декогеренции. (Все движения квазипериодичны и ничто не может диссипировать.)
@ArnoldNeumaier: возможно, у нас разные представления о том, что означает декогеренция. Пример, который я привел с вентилем CNOT, конечномерен, не является квазипериодическим (если только вы не рассматриваете постоянное состояние | 00 > + | 11 > быть периодическим) и приводит к исчезновению недиагональных элементов матрицы плотности. Отслеживание второго кубита оставляет первый кубит в классическом состоянии. Я слышал, как люди в сообществе квантовой информации называют это декогеренцией. Я ошибаюсь?
Существует расширенное обсуждение этой проблемы на physicsforums.com/showpost.php?p=3157393&postcount=103 .
Постоянное состояние, конечно, периодично для каждого периода. В квантовых вычислениях нужна среда (с ее гильбертовым пространством с бесконечным D) для подготовки определенных входных состояний. Без этого вы не сможете использовать квантовое устройство для вычислений. - «Декогеренция возникает, когда система взаимодействует с окружающей средой термодинамически необратимым образом». Из en.wikipedia.org/wiki/Decoherence .
Должно ли гильбертово пространство Вселенной быть бесконечномерным, чтобы квантовая механика имела смысл?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v