Почему принцип суперпозиции и Копенгагенская интерпретация не противоречат сами себе?

Изменение общего коэффициента умножения состояния не имеет никакого эффекта, но изменение относительного «количества» каждого состояния в нем, безусловно, влияет на него. Итак, в вашем примере это означает, что когда у вас есть чистое состояние, например$|\psi \rangle = |x_1 \rangle$, неважно, на что вы его умножаете$c \in\mathbb{C}$, ведь что вас волнует, вероятность найти его в состоянии$|x_1 \rangle$, всегда будет:

$$P = \frac {|\langle x_1|\psi \rangle|^2}{|\langle \psi|\psi \rangle|^2} = \frac {|c|^2}{|c|^2}=1$$

В вашем следующем примере то же самое верно для вашего состояния$|\alpha \rangle$, вы можете умножить его на любое$N \in\mathbb{C}$, и вы получите тот же физический смысл, то есть относительные вероятности будут одинаковыми. Явно:

$$P_{|x_1 \rangle} = \frac {|\langle x_1|\alpha \rangle|^2}{|\langle \alpha|\alpha \rangle|^2} = \frac {|N \cdot a_1|^2}{|N|^2}=|a_1|^2$$

$$P_{|x_2 \rangle} = \frac {|\langle x_2|\alpha \rangle|^2}{|\langle \alpha|\alpha \rangle|^2} = \frac {|N \cdot a_2|^2}{|N|^2}=|a_2|^2$$

Итак, как и хотелось, независимо от$N$. Но это неправда, что вы можете приумножить каждый отдельный вклад в$|\alpha \rangle$, потому что это изменит его на другое состояние. Для простоты вы можете связать это с векторами в$\mathbb{R}^3$, и вы можете думать, что состояние — это вектор, но вам важно только его направление, а не его длина. Итак, в этой ситуации для любого вектора$\vec{v} = a \cdot \vec{x}+b \cdot \vec{y}$, это правда, что умножение$\vec{v}$на любую константу не изменит его, но независимое умножение любого из его компонентов наверняка изменит ваше состояние.