Другие процессы, кроме формальных степенных рядов, в расчетах квантовой теории поля

Я не уверен, что этот вопрос слишком наивен для этого сайта, но вот оно. В расчетах КТП кажется, что все коренится в формальных разложениях степенных рядов, т. е. в том, что динамические системы люди назвали бы рядами Линдстедта . Однако из того, что я слышал, известно, что этот ряд (для случая КТП) имеет нулевой радиус сходимости, и это вызывает массу трудностей в теории. Мой вопрос заключается в том, существуют ли подходы, которые начинаются с итеративного процесса, имеющего больше шансов на сходимость (например, итерация с фиксированной точкой), и строят на его основе вычислительные методы для КТП?

Другими словами, когда существует так много подходов к аппроксимации точного решения, скажем, нелинейных волновых (и Клейна-Гордона, Янга-Миллса-Хиггса-Дирака и т. д.) уравнений на классическом уровне, почему мы выбираем, когда мы квантуем, только пара подходов, таких как степенной ряд и регуляризация решетки (последний, по сути, метод конечных разностей)? Обратите внимание, что это мягче, чем сделать QFT полностью строгой, это просто несколько иные вычисления.

Также обратите внимание, что этот асимптотический ряд оказывается чрезвычайно точным, например, теоретический результат для грамм − 2 расчет в этой серии согласуется с экспериментом до 10 значащих цифр. См. en.wikipedia.org/wiki/Аномальный_магнитный_дипольный_момент .
@Yuji: Да, как вы сказали, это всего лишь асимптотический ряд, а это означает, что изначально он может быть близок к «точному значению», но через какой-то момент он будет расходиться. Связанный с этим вопрос заключается в том, известно ли что-нибудь о том, сколько терминов мы должны вычислить, чтобы получить наиболее точный результат.
Пертурбативные разложения квантовой теории поля — это не ряды Линдстедта, а ряды Тейлора. Серию Линдстедта не следует упоминать. Кроме того, когда вы квантуете, вы не квантуете ряд Тейлора, вы берете ряд Тейлора в интеграл по путям.

Ответы (5)

Отсутствие сходимости не означает, что из теории возмущений нельзя извлечь ничего математически строгого. Можно использовать суммирование Бореля. Фактически борелевская суммируемость теории возмущений была доказана для некоторых КТП:

  1. Экманн-Магнен-Сенор для п ( ф ) теории в 2d см . в этой статье .
  2. от Magnen-Seneor для ф 4 в 3d см. эту статью .
  3. Feldman-Magnen-Rivasseau-Seneor для Gross-Neveu в 2d, см. эту статью .

На самом деле эти статьи получают такие результаты, используя альтернативу обычной теории возмущений, называемую многомасштабным (или фазовой ячейкой, или фазовым пространством) кластерным расширением. Последний основан на комбинаторных структурах, имитирующих диаграммы Фейнмана. Однако эти разложения сходятся при малой связи.

Изменить в соответствии с комментарием Тимура: книга Глимма и Джаффе - это то, что вы хотите прочитать, чтобы понять, зачем нужны расширения кластера. Он отлично дает общую картину: как аксиоматические, евклидовы, конструктивные КТП сочетаются друг с другом, а также с теорией рассеяния. Но для изучения того, как выполнить расширение кластера, книга устарела. Кластерное расширение, описанное в GJ, было одним из первых изобретений Глимма, Джаффе и Спенсера в их статье «Анналы математики». Это было первое в контексте КТП и, как таковое, вполне математический подвиг. Однако с тех пор (примерно в 1973 г.) было внесено много улучшений и упрощений. Если вы хотите узнать о расширении кластера в 2011 году, вот более эффективный путь:

  • Узнайте о расширении Mayer для полимерного газа: краткое введение находится в «Дополнительных материалах» внизу веб- страницы моего курса .
  • Узнайте о расширении кластера в одном масштабе, т. е. об управлении пределом бесконечного объема, когда присутствуют ограничения как в УФ-, так и в ИК-диапазоне: см. статью «Границы кластеризации для n-точечных корреляций для неограниченных спиновых систем» на той же веб-странице. Более очищенную версию смотрите в опубликованной версии , но она не находится в свободном доступе.
  • Наконец, настоящий McCoy: расширение многомасштабного кластера, в котором пытаются сделать все вышеперечисленное и убрать ограничения. Это чем-то похоже на бесконечный предел объема в фазовом пространстве. Здесь нет простой ссылки. Все отчеты субъекта чрезвычайно трудно читать. Я планирую написать педагогическую статью об этом в ближайшие несколько месяцев. А пока вы можете попробовать следующее: книгу Ривассо "От пертурбативной к конструктивной перенормировке", книгу Баттла "Вейвлеты и перенормировка", а также эту недавнюю статью Унтербергера (на французском языке).
Большое спасибо! Чтобы понять и научиться использовать кластерные расширения, будет ли разумной отправной точкой Квантовая физика Глимма-Джаффе: функциональная интегральная точка зрения ? Я математик с опытом работы в PDE и вейвлетах, а также со степенью бакалавра в области физики.
С другой стороны, если вы хотите начать с более простого или более физического стиля, в книге Дэвида Гудштейна «Состояния материи» есть довольно хорошее введение в расширение кластера в его первоначальном контексте.

Я думаю, что вы поднимаете очень важный вопрос, но я думаю, что вы делаете его более тривиальным, чем он есть на самом деле. Дело в том, что многие физики хотели бы иметь альтернативные расширения, но придумать их очень сложно. Если у вас есть какие-то предложения, не стесняйтесь выдвигать их.

Стандартное расширение начинается с оператора временной эволюции U ( т , т 0 ) и гамильтониан ЧАС ^ , которые вместе образуют уравнение Шрёдингера:

− я ∂ т U знак равно ЧАС ^ U

Интеграция дает,

U ( т , т 0 ) знак равно 1 − я ∫ т 0 т г т 1 ЧАС ^ ( т 1 ) U ( т 1 , т 0 )
и повторяя, т.е. подставляя это выражение вместо U справа вы можете составить формальный степенной ряд для U называется сериалом Дайсона. Вы можете изменить его некоторыми способами, например, разделить гамильтониан на разрешимую и пертурбативную части и, соответственно, на операторы временной эволюции. В конце концов вы получите выражение корреляционных функций, которые вам нужны , в терминах ряда корреляционных функций некоторой модели, которую вы знаете . И естественно, что этот ряд является разложением по константе связи пертурбативной части.

Так можно ли обойти это расширение? Что ж, иногда доступны некоторые непертурбативные подходы. У вас есть, например, царство точно решаемых моделей. Они основаны на наличии жестких ограничений симметрии. Примерами могут служить некоторые двумерные конформные теории поля, в которых корреляционные функции удовлетворяют дифференциальным уравнениям. Эти уравнения возникают из-за ограничений на операторную алгебру (наличие так называемых нулевых состояний) и тождеств Уорда, связанных с алгеброй симметрий, включающей конформную структуру. Мощная штука.

Другими примерами являются анзац Бете и алгебраический анзац Бете. Насколько я понимаю, эти модели основаны на построении полного набора собственных состояний в некотором гильбертовом пространстве + расширение без явной ссылки на гамильтониан (это означает, что гамильтониан подлежит некоторым ограничениям, но не обязательно должен быть известен явно). Это очень мощная техника, применимая для всего диапазона констант связи. Но требование интегрируемости может быть серьезным ограничением.

Также был упомянут AdS/CFT, который представляет собой чудесную дуальность слабой/сильной связи. При этом используется идея о том, что корреляционные функции одинаковы для двух, казалось бы, разных теорий, отличающихся размерностью и наличием гравитации. Решеточная регуляризация, насколько мне известно, тоже работает неплохо.

Альтернативным дополнением к серии Дайсона, которое приходит на ум, является расширение Магнуса (см. также здесь ). Самым большим преимуществом этого расширения является то, что оно остается единым после того, как вы где-нибудь обрежете серию. Но является ли это сильной альтернативой ..?

Мое мнение по этому вопросу заключается в том, что новое расширение или подход вполне могут быть следующей лучшей вещью после нарезанного хлеба.

Чтобы добавить к ответу Олафа, конкретный ряд называется рядом Неймана, который является решением интегральных уравнений Фредгольма .

Вы по сути спрашиваете о непертурбативных подходах к КТП? В качестве наиболее ярких примеров приходят на ум решетчатая КХД (основанная на выборке Монте-Карло) и различные дуальности сильной/слабой связи (например, AdS/CFT ).

Конечно, это больше намек, чем реальный ответ.

Спасибо за ответ. Вопрос был больше в духе того, когда существует так много подходов к аппроксимации точного решения, скажем, нелинейных волновых (и Клейна-Гордона, Янга-Миллса-Хиггса-Дирака и т. д.) уравнений на классическом уровне, почему мы выбираем, когда мы квантуем, только пара подходов, таких как степенные ряды и регуляризация решетки (последняя, ​​по сути, метод конечных разностей)?
Я могу только махнуть рукой в ​​том направлении, что структура даже самой простой КТП намного богаче (например, бесконечномерное гильбертово пространство для «каждой точки пространства»), чем конечномерная классическая теория. Может быть более глубокая и простая математическая причина, которую мне тоже было бы интересно узнать.

Я думаю, что вы сэкономите себе много времени, посмотрев ссылку, например: N. Nagaosa QFT in Condensed Matter Physics, pg 78, section 3.4 . С вычислительной точки зрения «Теория решетчатой ​​калибровки и проблема конфайнмента» объяснит вам, почему физики, когда они заинтересованы во введении ограничения по энергии или длине и т. д., должны будут решить, сколько бесконечных степеней свободы от исходного Гамильтонианы остаются нетронутыми локально на решетке. При этом вы узнаете, что моделирование фермионов может стать проблематичным. Это быстрое чтение, которое может помочь вам отшлифовать свой вопрос с минимальными временными затратами.

Спасибо за ответ! Боюсь, я не могу многого почерпнуть из книги. По сути, вы говорите, что, поскольку у решетки так много проблем, у других возможных подходов должно быть еще больше проблем?
Нет, я просто хочу, чтобы вы знали, что по мере того, как вы узнаете больше об этих подходах, у каждого из них есть свои ограничения. Я указал на эту ссылку, потому что она поможет вам оценить, насколько хорошо вы уже знакомы с предметом. Вам также будет полезно попытаться выяснить, что именно физик подразумевает под разложением в асимптотический ряд и почему при перемасштабировании константы связи асимптотический подход терпит неудачу. Без индивидуального репетиторства объяснение этих вещей займет слишком много времени.

В каком-то смысле я понимаю этот ваш вопрос как относящийся к более «математически точным» подходам к КТП: в конце концов, ваш вопрос подразумевает «непертурбативные определения КТП» в той или иной форме — в конце концов, если вы можно использовать какой-то другой инструмент, почему бы не изменить проблему и не определить свою теорию на основе того, как вы можете использовать такой инструмент?

В этом отношении можно сказать довольно много, учитывая, что существует несколько различных способов определения КТП (с разными уровнями «математической строгости»):

  • Аксиоматическая КТП, Конструктивная КТП, Алгебраическая КТП и локальная квантовая физика (по Хаагу);
  • Функциональная интеграция (а-ля интегралы Фейнмана, исчисление белого шума и т. д.) и аппроксимационные расширения (именно здесь ваш вопрос кажется более естественным);
  • Алгебры вершин (VOA, алгебры Борчерда) и CFT;
  • Более вероятностные подходы, например уравнение Шрамма-Левнера;
  • Киральные и факторизационные алгебры;
  • TFT и теория высших категорий;
  • и т.п.

Таким образом, использование разложений в ряды является лишь одним из этих усилий, и в этом направлении существуют другие подходящие ряды, например, разложения по Большому-N .

С другой стороны, с учетом вышеизложенного, верно, что есть и другие методы, которые могли бы что-то добавить к обычному способу работы — высказывание вашей озабоченности. Например, существуют способы дискретизации пространства, которые «совместимы» с дифференциальными геометрическими объектами (такими как н -формы и так далее; в основном под названием «Дискретная дифференциальная геометрия» или «Геометрическая дискретизация»), которые можно было бы использовать в решетчатых формулировках КТП, но в настоящее время они не используются. Также существуют всевозможные «конечно-разностные схемы» дискретизации, сохраняющие разные симметрии исходной задачи (diff eq), которые можно было бы использовать для освещения тех или иных свойств теории, но обсуждение этого вопроса, похоже, не уместно. функция в решетчатом сообществе.

Таким образом, в конце концов, Олаф прав: если у вас есть предложения, обязательно выдвигайте их! ;-)

Другие процессы, кроме формальных степенных рядов, в расчетах квантовой теории поля
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v