Значение гиперконечного фактора III1III1III_1 для аксиоматической квантовой теории поля

Эта статья Ингвасона, вероятно, является хорошим началом:

Ингвасон, Дж. (2005). Роль факторов типа III в квантовой теории поля. Отчеты по математической физике, 55 (1), 135–147. ( архив )

Свойство типа III кое-что говорит о статистической независимости. Позволять$\mathcal{O}$быть двойным конусом, и пусть$\mathfrak{A}(\mathcal{O})$– ассоциированная алгебра наблюдаемых. Предполагая двойственность Хаага, имеем$\mathfrak{A}(\mathcal{O}')'' = \mathfrak{A}(\mathcal{O})$. Если$\mathfrak{A}(\mathcal{O})$не относится к типу I, гильбертово пространство$\mathcal{H}$система не распадается, т.к.$\mathcal{H} = \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$таким образом, что$\mathfrak{A}(\mathcal{O})$действует на первый тензорный фактор, и$\mathfrak{A}(\mathcal{O}')$на второй. Это означает, что нельзя подготовить систему в определенном состоянии, если ограничиться измерениями в$\mathcal{O}$независимо от состояния в каузальном дополнении. Следует отметить, что если выполняется свойство расщепления, то есть фактор типа I.$\mathfrak{N}$такой, что$\mathfrak{A}(\mathcal{O}) \subset \mathfrak{N} \subset \mathfrak{A}(\widehat{\mathcal{O}})$для какого-то региона$\mathcal{O} \subset \widehat{\mathcal{O}}$, доступно чуть более слабое свойство: состояние можно подготовить за$\mathcal{O}$независимо от состояния в$\widehat{\mathcal{O}}'$. Иллюстрацию последствий можно найти в статье выше.

Другим следствием является то, что свойство Борхера B выполняется автоматически: если$P$является некоторой проекцией в$\mathfrak{A}(\mathcal{O})$, то есть некоторая изометрия$W$в той же алгебре такой, что$W^*W = I$а также$W W^* = P$. Это означает, что мы можем изменить состояние локально , чтобы оно было собственным состоянием$P$, сделав модификацию$\omega(A) \to \omega_W(A) = \omega(W^*AW)$. Обратите внимание, что$\omega_W(P) = 1$а также$\omega_W(A) = \omega(A)$за$A$локализуется в каузальном дополнении$\mathcal{O}$. Тип III$_1$подразумевает нечто более сильное, подробности см. в цитируемой статье.

Что касается первого вопроса, то можно доказать, что локальные алгебры свободных теорий поля относятся к типу III. Это было сделано Араки в 1960-х годах. Вы можете найти ссылки в статье, упомянутой выше. В общем случае условие типа III следует из естественных предположений о наблюдаемых алгебрах. Нетривиальные примеры, вероятно, нужно найти в конформной теории поля, но я не знаю никаких ссылок на макушку.

Относительно первого вопроса. Как уже сказал Питер, для конформной сети$III_1$свойство имеет место (если оно не$\mathbb C$). Дальше$e^{-\beta L_0}$быть классом трассировки для всех$\beta>0$с$L_0$генератор вращений влечет свойство расщепления, которое влечет$\mathcal A(I)$быть гиперконечным$III_1$-фактор.

редактировать Свойство$III_1$а трейс-класс подразумевает разделение можно найти в - Д'Антони, Лонго, Радулеску. Конформные сети, максимальная температура и модели из свободной вероятности [arXiv:math/9810003v1]