Движение в нестационарном однородном магнитном поле

Предположим, у вас есть бесконечный соленоид, создающий внутри однородное магнитное поле . Поле ориентировано вдоль оси соленоида: единичный вектор$\vec{\bf n}$. Интенсивность поля изменяется линейно со временем между$t_1$и$t_2 = t_1 + \Delta t$, вот так (здесь мы пренебрегаем всеми электромагнитными волнами ):

$$\begin{equation}\tag{1} B(t) = B_1 + \lambda \, (B_2 - B_1)(t - t_1), \end{equation}$$ где $B_1$постоянное магнитное поле для времени $t < t_1$, $B_2$постоянное магнитное поле для времени $t > t_2 = t_1 + \Delta t$, и $\lambda = 1/\Delta t$. Изменение этого поля во времени создает индуцированное электрическое поле внутри соленоида за тот же интервал времени (от $t_1$к $t_2$): $$\begin{equation}\tag{2} \vec{\bf E} = -\, \frac{1}{2} \; \lambda \; \Delta B \; \vec{\bf n} \times \vec{\bf r}, \end{equation}$$ где $\Delta B = B_2 - B_1 > 0$— простая постоянная (магнитное поле в соленоиде нарастает). Обратите внимание, что единичный вектор $\vec{\bf n}$также является константой (ось соленоида).

Теперь вы бросаете частицу с положительным зарядом внутрь соленоида:$q > 0$, с любым положением и начальной скоростью. Уравнение движения такое:

$$\begin{equation}\tag{3} \frac{d \vec{\bf p}}{d t} = q \, \vec{\bf E} + q \, \vec{\bf v} \times \vec{\bf B}, \end{equation}$$ где $\vec{\bf p} = \gamma \, m \, \vec{\bf v}$— релятивистский линейный импульс частицы. Я не заинтересован в аналитическом решении этого уравнения (я сделал это численно, используя Mathematica . Трехмерные кривые красивы!). Теперь проблема в следующем:

Как мы можем найти аналитически конечную энергию в момент времени$t > t_2$, как функция напряженности поля$B_1$,$B_2$и начальная скорость (или энергия) в момент времени$t < t_1$?

Я знаю, что для этой задачи существует по крайней мере одна точная постоянная движения:

$$\begin{align} \mathcal{J} &= \vec{\bf n} \cdot \big( \vec{\bf r} \times (\vec{\bf p} + q \, \vec{\bf A}) \big), \\[18pt] &= \vec{\bf n} \cdot \big( \vec{\bf r} \times \gamma \, m \, \vec{\bf v} + \frac{q}{2} \; B(t) \, \vec{\bf r} \times (\vec{\bf n} \times \vec{\bf r})\big), \tag{4} \end{align}$$ где $\vec{\bf A}$потенциальный вектор: $$\begin{equation}\tag{5} \vec{\bf A} = \frac{1}{2} \; B(t) \, \vec{\bf n} \times \vec{\bf r}. \end{equation}$$

Мы также могли бы попытаться использовать теорему о кинетической энергии (магнитное поле не совершает никакой работы):

$$\begin{align} \Delta K = W_{\text{em}} &= \int_{t_1}^{t_2} q \, \vec{\bf E} \cdot \vec{\bf v} \; dt \\[18pt] &\equiv -\, \frac{q}{2} \; \lambda \, \Delta B \int_{t_1}^{t_2} \vec{\bf n} \cdot (\vec{\bf r} \times \vec{\bf v}) \, dt, \tag{6} \end{align}$$ но, к сожалению, это не помогает, так как я не знаю, как вычислить этот интеграл (обратите внимание, что вектор $\vec{\bf r} \times \vec{\bf v}$здесь не сохраняется, и это не совсем угловой момент частицы, поскольку релятивистская $\gamma$фактор отсутствует). Однако мы признаем интеграл по времени от магнитного момента частицы $\vec{\boldsymbol{\mu}}(t)$: $$\begin{equation}\tag{7} \vec{\boldsymbol{\mu}}(t) = \frac{q}{2} \; \vec{\bf r}(t) \times \vec{\bf v}(t), \end{equation}$$ поэтому мы могли бы написать следующую вариацию кинетической энергии, но это мало помогает: $$\begin{equation}\tag{8} \Delta K = -\, \langle \, \vec{\boldsymbol{\mu}} \, \rangle \cdot \Delta \vec{\bf B}. \end{equation}$$ Постоянная движения $\mathcal{J}$в этом случае не поможет, даже если движение ограничено плоскостью, ортогональной $\vec{\bf n}$(т.е. движение в поперечном сечении соленоида).

Любое предложение найти изменение кинетической энергии$\Delta K$?

Я также подозреваю, что для этой задачи может быть другая точная сохраняющаяся величина (полная энергия? общий магнитный поток на пути частицы?). Какой может быть другая сохраняющаяся величина?

---

Вот типичная траектория в ортогональной плоскости соленоида:

Картинка в самолете http://s10.postimg.org/87h0m0849/motion.jpg[/img]

Большой круг — это начальное движение во времени.$t < t_1$(классическое круговое движение радиусом$r_1 = \gamma_1 \, m \, v_1/ q \, B_1$). Маленький круг внутри — это последнее движение во времени.$t > t_2$(другое классическое круговое движение вокруг конечных силовых линий магнитного поля радиусом$r_2 = \gamma_2 \, m \, v_2/ q \, B_2$). Путь между обеими окружностями является результатом действия изменяющегося во времени магнитного поля и индуцированного электрического поля (которое ускоряет частицу:$v_2 > v_1$). Мне нужно аналитически найти изменение энергии от большого круга к меньшему, чтобы получить окончательный радиус$r_2$(поскольку мы не знаем конечного линейного импульса$p_2 = \gamma_2 \, m \, v_2$).

Вот еще одно изображение, показывающее некоторые типичные траектории в 3D. Дрейф к центру происходит при переходе$B_1 \Rightarrow B_2 > B_1$:

Картинка в 3D http://s11.postimg.org/yarbwa0ab/induction2.jpg[/img]

Дрейф вызван наведенным электрическим полем, которое толкает частицы с локальной скоростью дрейфа . $\vec{\bf v}_d = \vec{\bf E} \times \vec{\bf B}/B^2$.

---

Дополнение:

Это может быть интересно. Если мы рассматриваем нерелятивистское движение только в плоскости (ортогональной силовым линиям магнитного поля), используя полярные координаты, получаем следующее радиальное дифференциальное уравнение:

$$\begin{equation} \ddot{\rho} + \omega^2 \, \rho = \frac{\mathcal{J}^2}{\rho^3}, \end{equation}$$ где $\mathcal{J}$- постоянная движения, определенная выше (на единицу массы) и $\omega = q B(t)/2m$— ларморовская угловая частота. Этот диф. уравнение трудно решить, тем более что $\omega$зависит от $t$. Угловая часть определяется следующим уравнением: $$\begin{equation} \dot{\vartheta} = \frac{\mathcal{J}}{\rho^2} - \omega. \end{equation}$$